複素ベクトル空間上のすべての非退化双線形対称形式は同型です
複素ベクトル空間上のすべての非退化双線形対称形式は同型です。これは、複雑なベクトル空間上の非退化双線形対称形式が与えられた場合、双線形形式の行列表現が単位行列になるようにベクトル空間の基底を選択できることを意味しますか？誰かが私にこれがなぜであるかを説明するのを手伝ってもらえますか？
エントリのある行列は $\mathbb{C}$は（多重度のある）線形因子に分割される特性方程式を持ち、対角化可能になりますが、それでもこれらの部分を完全に組み合わせることができません。洞察に感謝します！
回答
答えはイエスです。
まず、双線形形式が同型であることの証明。これが維持されることを証明するだけで十分であることに注意してください$\Bbb C^n$。
まず、すべての可逆で複雑な対称行列は、次の形式で記述できると主張します。 $A = M^TM$ いくつかの複雑な行列の場合 $M$。これは、たとえば、高木因数分解の結果として見ることができます。
さあ、 $Q$ 上の対称双線形形式を示します $\Bbb C^n$、そして $A$ その行列を次の意味で示します $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$。しましょう$Q_0$ によって定義される正規の双線形形式を示します $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$。私達は書く$A = M^TM$ 一部の可逆複素行列の場合 $M$。
定義する $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ 沿って $\phi(x) = Mx$。それを確認するのは簡単です$\phi$ は双線形積空間の同型写像であるため、2つの空間は実際に同型です。
すべてが確立されたので、基底変換がわかります $y = Mx$ そのようなものです $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$。