複素微分形式を含む計算

Aug 16 2020

私は複素幾何学に関するこの講義ノートを読んでいて、複素微分形式を含む1つの計算(一見基本的な)で立ち往生しています。仮定します$X$ 複雑な表面であり、 $\omega$ 正則(1,0)形式、つまり $\omega$ オペレーターによって殺されます $\overline{\partial}$。しましょう$\overline{\omega}$対応する(0,1)共役形になります。著者は次のように主張しています

\ begin {equation *} d(\ omega \ wedge \ overline {\ omega})= d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {equation *}

今から $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$、右側はただです $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$。しかし、左側が同じ式でどのように記述できるかはわかりません(外微分の通常の規則を使用)。どんな洞察もいただければ幸いです。

回答

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 07:27

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ RHSが3つの形式である間 $d\omega \wedge d\overline\omega$4つの形式です。それらは同じではありません。

メモを見て、彼らは書いた

今ストークスの定理によって $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (なぜなら $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $)。

私はそれが単なるタイプミスだと信じていますそして彼らはおそらく意味します $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$