複素数による計算

Question

ですから、今日、数学の本でこの1つの質問に遭遇しました。本当に簡単に思えますが、正しい答えを得る方法がわかりません。睡眠をとるために、その方法を知りたいだけです。

これは質問です：

複素数の場合 $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ それを示す $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

実際の複素数を使用してこれを行う以外は、この質問に対して多くのことをしていません。 $$\frac{z^2-1}{z}$$

誰かがこの質問を証明する方法を教えてもらえますか、どんな助けでもありがたいです。

Answer 1

アイデンティティは真実ではありません、確かに私たちはそれを持っています

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

アイデンティティは次の場合にのみ当てはまります $\left(r-\frac1r\right)=0$ そして $\left(r+\frac1r\right)=2r$ あれは $r=1$ または $z=e^{i\theta}$。

Answer 2

に等しいもの $\:2ir\sin\theta\:$ です $\:z -\color{red}{\bar z}$。

今 $\bar z=\dfrac 1 z\:$ 場合に限り $z$ 弾性率があります $1$。