複素数を条件として、共円四辺形を形成します。
複素数を検討する $z,z^2,z^3,z^4$共円四辺形を形成するこの順序で。場合$\arg z=\alpha$ そして $\alpha$ にあり $[0,2\pi]$。値を見つける $\alpha$ 取っていいよ。
ある競争試験でこの質問に遭遇しました。外接四辺形のプロパティを使用して取得しようとしました $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ これはさらに単純化することができますが、役に立ちません。
私もconiの定理を使ってみましたが、役に立ちませんでした。与えられた答えはアルファがあります$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
回答
レンダリングする別の方法は次のとおりです $|z|=1$ -すべてのものの数学的帰納法による。
仮定 $z,z^2,z^3,z^4$ ゼロ以外の円の上にある $z$。次に、すべての要素に$z$ 私たちはそれを推測します $z^2,z^3,z^4,z^5$ また、円の上にあります。これは、3つの点が重なっているため、最初の円と同じである必要があります。 $z^2,z^3,z^4$。同様に$z^6,z^7,...$ 同じ円の上にあります。
今度は逆に行きます。与えられた$z,z^2,z^3,z^4$ 円で割る $z$、その後 $1,z,z^2,z^3$また、最初の円と同じ円の上にあります。このプロセスを繰り返すと、$z^{-1},z^{-2},...$ また、この円の上にあります。
したがって、同じ円には、次の形式のすべての点が含まれます $z^n$ すべての整数に対して $n$、正、負、ゼロ。しかし、円は制限されている必要があり、識別されたばかりの力のセットは、$|z|=1$。
与えられた $|z|=1$、引数がどのように制限されるかは定義の問題です。ポイントが必要な場合$z,z^2,z^3,z^4$ 四辺形で回転順序になるには、次の2つのケースのいずれかが必要です。
順序が逆ロックの場合、 $0<\alpha<2\pi/3$ 回転順序を維持するには、 $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$。
順序が時計回りの場合、逆乗 $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ 反時計回りの順序であり、今必要です $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$。これは2番目のセットを与えます$4\pi/3<\alpha<2\pi$ 引数がとられる場合 $[0,2\pi)$。
しかし、間違いなく、この回転順序でなくても点は円上にあるため、一致する頂点のペアによって縮退しない限り、共円四辺形が存在します。このような一致は、次の場合にのみ発生します。$n\alpha$ の倍数です $2\pi$ ために $n\in\{1,2,3\}$。したがって、この観点から$\alpha$ 何でもかまいません $[0,2\pi]$ を除いて $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$。
プトレマイオスによって私達は得ます： $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ または $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ これで、三角不等式を使用できます。
Id est、for $|z|=r$ 私達は手に入れました： $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ これは $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ または $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ それ以来 $\sin\alpha\neq0$、 私達は手に入れました $r=1$。
Michaelのソリューションと同様に、Ptolemyを使用して取得します $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$。
写真を参照してください、それは明らかです $|z^{2}|=1$ そして結果として $|z|=1$。ために$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$方程式は有効です。ヒント：どの角度で$\alpha$ の方向性は $z^{2}+z+1$ の反対になる $z$？
モジュラスの問題については、古典的な等価性を使用しましょう（ここを参照）。
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
私たちの場合、（1）は次のようになります。
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
特にから来るさまざまな単純化を考慮に入れる $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$、（2）は：と同等です。
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
そうでなければ、と $z=re^{i\theta}$、
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
なので $\theta \ne k \pi$ （そのような値は縮退した四辺形を与えるでしょう）、私たちは必然的に $r-\tfrac1r=0$、与える $r=1$。
角度の問題については、$z=re^{i \theta}$ と $0<\theta<\pi$ 一般性を失うことなく（これは、 $x$-軸）。それは推論をすることと同等です$1,z,z^2,z^3$ から得られるポイントです $z,z^2,z^3,z^4$ によって $-\theta$回転。必要条件がそれであることは幾何学的に明らかです$z^3$ 引数が $2 \pi$ （それ以外の場合、ポイントの順序 $1$ そして $z^3$尊重されません）。この状態$arg(z^3)<2 \pi$ 与える
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
さらに、この条件は実際には十分です：すべて $\alpha$■（3）を検証することで適切な解決策が得られます。