複数の疑似カタランの立体がありますか？
この質問は1年前にMSEで尋ねられました。この質問の動機は、他のMSEの質問、ここ、ここ、またはここにあります。
凸面ソリッドには、あらゆる種類の対称性があります。
正多面体は頂点と面遷移です。つまり、3次元空間の回転のサブグループがあり、任意の頂点を別の頂点に移動できます（面についても同じです）。そこにあるリストは、5つの正多面体に限定されています。
面遷移（または同面）立体には、カタラン立体、双角錐の（無限ファミリー）、および台形面の（無限ファミリー）が含まれます。さらなる制限がなければ、これらの固体は無限のファミリーに属する可能性があることに注意してください。菱形十二面体には、無限の数の凧形二面体があります（凧形十二面体を参照）。また、pyritohedraと呼ばれる12面体の1パラメーターファミリーにも適合します。十二面体と三方四面体は、四面体と呼ばれる1パラメーターファミリーに適合します。双角錐とねじれ双角錐は、面の数以外にもあらゆる種類の変形を認めます。
求めることができるはるかに弱い対称性があります。それを疑似カタロニア語と呼びましょう（より良い名前がないため）。「センター」を修正する$C$。凸状のソリッドは、中心を回転させて各面を別の面に送ることができる場合、疑似カタロニア語です。$C$ または反射（その平面が通過する $C$）。この回転（+反射）がソリッド全体を保持する必要はないことに注意してください。カタランの立体ではないそのような立体の例は、ジャイレート凧形二十四面体です。
質問：疑似カタロニア語であるがカタロニア語ではない固体のリストはありますか？[もっと必死に：凧形二十四面体の横にそのような固体はありますか？]
- ソリッドが凸で、すべての面が合同である最後のカテゴリがあることに注意してください（凸の単面体ソリッド）。前のカテゴリとの違いは、翻訳が許可されるようになったことです。特に、ソリッドが前のカテゴリに属していることを確認するには、$C$（そして、すべての回転と反射がこの点によって制約されるという事実）は重要です。このような固体の例は、三側錐十二角柱と双四角錐の双角錐です。
回答
これはコメントの詳細バージョンです。
M. Winterが指摘したように、多面体のファミリーがあります。$4k$-法案に合う顔（$k=5$二十面体です）。これがケースの画像です$k=4$ そして $k=6$。
上の反角柱から始めましょう $k$-ゴン（下を言う $k$-gonには座標を持つ頂点があります $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ と上部の頂点 $(e^{i \pi 2j k},h)$ どこ $0 \leq j <k$ そして $h$実数です。複素数を使用しています$x$ そして $y$座標）。それぞれにピラミッドを接着します$k$-gon（ピラミッドの先端は $(0,0,s)$ そして $(0,0,h -s)$。センター$C$ にあります $(0,0,\tfrac{h}{2})$。
三角形が合同であるためには、次のように書くことができます。 $h$ の関数として $s$ （それは $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$）。場合$k>3$、各面がから同じ距離にある必要があります $C$ （すなわち $C$ 内接球の中心になります）の値を修正します $s$ （それは $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$）。までの距離を最小にする面のポイント$C$ 三角形の外接円です（これをチェックしただけです） $k=4,6$ そして $7$ [私は怠惰すぎて一般的な代数を行うことができませんでした $k$]）。
そこから、これらの固体は疑似カタロニア語であることがわかります（カタロニア語になることはできません[if $k \neq 5$]ピラミッドの先端の頂点には次数があるため $k$ 他の頂点の次数は5です。したがって、ピラミッドから反角柱に面を送るグローバルな対称性はありません。
私はこれらの固体が不等辺三角形を持つより大きな家族にあると信じがちです。（双角錐の代わりに）trapezohedraに基づく同様の構成は楽しいでしょう（しかし、私は現時点でこれを行う方法がわかりません）。
編集：ケース $k=3$は特異です。面の平面を内接球に接触させると、ねじれ双角錐が得られます（面は菱形です。つまり、ピラミッドの三角形はアンチプリズムの三角形と完全に一致します）。残りのパラメータをさらに使用して、最も近いポイントが$C$ 各[三角形]の面で同じであり、実際には立方体（！）を与えます。
これは別の（そしてうまくいけばもっと単純な）例です（ただし、可能な固体の完全なリストではありません）。取る$k$-双角錐（赤道の頂点には $xy$-あるコーディネート $k^\text{th}$-統一のルーツと $z=0$）。ピラミッドの先端を$(0,0,\pm 1)$。いつ$k$ 偶数です（そう $k \geq 4$）、1つの先端と統一の根を通る平面に沿ってこのピラミッドを切ることができます $\pm 1$。これにより、双角錐が正方形に沿って切断されます。次に、2つのピースの1つを90°回転させて、一緒に貼り付けます。得られた固体（おそらく、ジャイレート双角錐と呼ばれるはずです）は、必要な条件を満たす必要があります。
これらがカタランの立体ではないことを確認するには（ $k=4$、正八面体を取り、それを切り取り、元に戻すだけです）は、2つのタイプの面があることに注意してください。接着が発生した正方形に接触する面と他の面です。
ここにいくつかの写真があります $k=6$ そして $k=8$。
