複数の条件付けによる条件付き期待値
任意のrvsの場合 $X$ そして $Y$：
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
しかし、私はこれを証明することができないようです。アダムの法則を追加の条件付けで使用してみました（$E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$）しかし、私はそれでどこにも行かないようです。
私が試したのは次のとおりです。
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ イベント以来 $X$ 起こって $g(X)$ 起こったことは同等であり、両方の条件付け $X$ そして $g(X)$それらの1つだけの条件付けと同じです。これの直感的な解釈はありますか？
これはまた、条件付けを意味しますか $X$ または任意の関数 $g$ の $X$ 同じです ？
回答
これは、条件付き期待値のタワープロパティの特殊なケースであり、 $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ その後 $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ これらの等式の2番目を使用します。 $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ そして $\mathcal F_2=\sigma(X)$。
あなたがすでに持っている議論は、かなり良い非測度論の議論です。私はそれを以下に形式化するだけです、それはいくつかの詳細について自信を与えるのに役立つかもしれません。
引数の構造を使用する： $g(X)=E[Y|X]$。次に\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}ここで、（a）反復期待の法則を使用します。（b）使用$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; （c）使用$E[Z|Z]=Z$ 任意の確率変数 $Z$。 $\Box$
より詳細に検討されるステップ（b）は次のとおりです。 $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ これは直感的に意味します $X$、次に追加情報 $g(X)$ 新しいものは何も追加しません。
ノート：
条件付け $X$ 一般的に条件付けと同じではありません $g(X)$、しかしそれはこの特定の問題で機能します。
測度論の導出は、あなたの答えに対する私の最初のコメントの線に沿って与えることができます。あなたも正当化することができます$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ より正式には測度論（「によって生成されたシグマ代数 $(g(X),X)$ によって生成されたシグマ代数と同じです $X$"）。
正式な測度論の定義では、条件付き期待値の「バージョン」について説明していますが、この回答ではそのような詳細には触れません（一部の人々は、私の等式を「確率1」を保持する等式に置き換えたい場合があります）。