フルヴィッツの定理のバージョン

Aug 19 2020

質問:しましょう$\{f_n\}$ の分析関数のシーケンスである $\mathbb{C}$ のコンパクトサブセットに一様に収束する $\mathbb{C}$ 多項式に $p$ 程度の $m$。それを証明する$n$ 十分な大きさ、 $f_n$ 少なくとも持っている $m$ ゼロ(多重度のカウント)。

試み:これがフルヴィッツの定理のバージョンであることは知っていますが、「フルヴィッツによる」とだけ言いたくはありません。場合$f_n$ 同じように $0$、問題は些細なことなので、そうではないと仮定しましょう。どんな点でも$z_0\in\mathbb{C}$、あります $r>0$、 そのような $0<|z-z_0|\leq r$。しましょう$|z-z_0|=r$ サークルになる $C$。次に、一様収束によって$C$ (以来 $C$ 円なのでコンパクトです) $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$、および $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$。そう、$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ したがって、LHSの積分は、の零点の数を与えるので $f_n(z)=0$ 内部 $C$$f_n$ そして $p$ 内部に同じ数のゼロがあります $C$。聞かせて$r\rightarrow\infty$ 結果を与える $\mathbb{C}$

証明に何か問題がありますか?特に、「のために何かが起こっているのですか?$n$ 私が注意しなければならない問題の「十分に大きい」または「多重度を数える」部分?どんな助けも大歓迎です!ありがとう。

回答

1 MartinR Aug 19 2020 at 03:11

あなたの議論にはいくつかの問題があります:

どんな点でも $z_0\in\mathbb{C}$、あります $r>0$、 そのような $0<|z-z_0|\leq r$

とは $z$ ここに?

次に、一様収束によって $C$ (以来 $C$ 円なのでコンパクトです) $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$、..。

あなたはそれが必要です $p(z) \ne 0$ オン $C$ この結論のために。

...そして $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$

それはそうかもしれませんが、あなたが必要なのはそれです $f_n'(z) \to p'(z)$ オン $C$

私は次のように始めます:最初に、私たちは程度が $m$$p$ は少なくとも1つです(それ以外の場合は表示するものがありません)。 $p$は非定数多項式です。次に、$r > 0$ のすべてのルーツが $p$ 中にある $\{ |z| < r \}$。今、円を考えてみましょう$C$ 原点を中心とし、半径 $r$。ご了承ください$p$ がゼロ以外 $C$

最後にそれを示す $f_n'/f \to p'/p$ 均一に $C$、および偏角の原理を適用します。