不定積分の解にはエラーが含まれています（正解はわかっています）が、見つかりません

Question

いくつかの微積分の本には、不定積分に関する演習があります。

$$ \int \sqrt{x^{2} +1} \cdot dx $$

ソリューションは最初の置換x = sinh uを使用し、いくつかの変換の後、本は結果を取得します。

$$ \frac{1}{2} \cdot \left( x\sqrt{x^{2} +1} +\ln\left( x+\sqrt{x^{2} +1}\right)\right) +C $$

MAXIMAは私に結果を示します：

$$ \[\frac{\operatorname{asinh}(x)}{2}+\frac{x\ \sqrt{{{x}^{2}}+1}}{2}\] $$

同じように見えますが、問題は次のとおりtanです。この本には、。で置き換えることによる別の解決策があると書かれています。tan-substitutionでそれを解決しようとしましたが、非常に異なる結果が得られました。私のエラーがどこにあるか教えてください：

$$ \int \sqrt{x^{2} +1} \cdot dx=\int \sqrt{\tan^{2} a +1} \cdot \frac{da}{\cos^{2} a} =\int \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} a}} \cdot \frac{da}{\cos^{2} a} =\int \frac{da\cdot \cos a}{\cos^{4} a} =\int \frac{d(\sin a)}{\left(\cos^{2} a\right)^{2}} = $$

$$ = \int \frac{d(\sin a)}{\left( 1\ -\ \sin^{2} a\right)^{2}} =\int \frac{dt}{\left( 1-t^{2}\right)^{2}} =\int \frac{e^{u} \cdot du}{\left( 1-e^{2\cdot u}\right)^{2}} =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{2\cdot e^{u} \cdot du}{\left( 1-e^{2\cdot u}\right)^{2}} =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d\left( e^{2\cdot u}\right)}{\left( 1-e^{2\cdot u}\right)^{2}} = $$

$$ = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dz}{( 1-z)^{2}} =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d( z-1)}{( z-1)^{2}} =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{dv}{v^{2}} =-\frac{1}{2\cdot v} +C $$

そして、私は変数「戻る」をx介して戻ろうとしていv -> z -> u -> t -> a -> xます-置換：

$$ = -\frac{1}{2\cdot ( z-1)} +C=-\frac{1}{2\cdot \left( e^{2\cdot u} -1\right)} +C=\frac{1}{2\cdot \left( 1-e^{2\cdot \ln t}\right)} +C=\frac{1}{2\cdot \left( 1-t^{2}\right)} +C=\frac{1}{2\cdot \left( 1-\sin^{2} a\right)} = $$

$$ = \frac{1}{2\cdot \cos^{2} a} +C=\frac{1}{2\cdot \cos(\arctan x) \cdot \cos(\arctan x)} +C=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}} +C=\frac{1+x^{2}}{2} +C $$

Answer 1

あなたはから行くのを間違えました $u$ に $z$：もし $z = e^{2u}$、その後 $dz = 2e^{2u}\,du$、あなたがそれを取る場所 $2e^u\,du$。実際、あなたがから行くときに何が起こるかを見れば$t$ に $z$、置き換えました $t^2$ 沿って $z$、しかしまた置き換えられた $dt$ 沿って $dz$、あるべき場所 $2\sqrt z\,dz$。

あなたはに立ち寄った可能性があります $t$：一度持ったら $\int \frac{dt}{(1-t^2)^2}$、部分分数分解を実行して、それ以上の置換なしで終了することができます。