不等式の両側の分子と分母に1を追加すると、結果を変更できますか?

Aug 24 2020

分子と分母の両方がゼロになる可能性がある場合、データベースから分数を計算しています。この問題を解決するために、それぞれに1を追加することを考えました。

分母に1を追加することしかできないことは知っていますが、これはリソースの最適化のためであり、分母に1を追加すると、分母が低いタスクが優先されます。

3/3 == 4/4ですが、3/4> 4/5であるため、4のタスクはリソースを取得します。これは、プログラムがさらに完了する必要があると見なすためです。

これは私の質問に私をもたらします:

私がそれを知っているなら

$\frac{a}{b} > \frac {c}{d}$

できる $\frac{a+1}{b+1} < \frac {c+1}{d+1}$ 一度でも起こりますか?

上記の式は次のように変換されます

$a+d > c+b+(bc-ad)$

そして、これは私が立ち往生しているところです。

回答

3 StinkingBishop Aug 24 2020 at 20:19

$\frac{7}{10}\gt\frac{2}{3}$ だが $\frac{8}{11}\lt \frac{3}{4}$

2 YvesDaoust Aug 24 2020 at 20:30

言葉なしで答える:

++++++++++

2 user Aug 24 2020 at 20:23

仮定する $a,b,c,d>0$ それから私たちはそれを持っています

$$\frac{a}{b} > \frac {c}{d} \iff ad-bc>0$$

そして

$$\frac{a+1}{b+1} > \frac {c+1}{d+1} \iff ad-cb+a+d-c-b >0$$

これは失敗します

$$c+b-a-d>ad-cb \iff c+b+bc>a+d+ad $$

それは例えば

$$\frac{4}{7}\gt\frac{1}{2}, \quad \frac{5}{8}\lt\frac{2}{3}$$

確かにこの場合

$$c+b+bc=1+7+7=15>a+d+ad=4+2+8=14$$