フォンノイマン代数の正常な機能に関する同型写像

Question

この質問は、Pedersenの本「C *-代数とその自己同型グループ」（P55Def。3.6.5）に由来しています。

場合 $M$ のフォンノイマン代数です $B(H)$、 $T(H)$ の要素を示します $B(H)$ トレースクラスとセットの $N=\{x\in T(H)|~ Tr(ux)=0, \forall u\in M \}$。証明：$T(H)/N\cong M_*$ （等長同型）、 $M_*$ 上のすべての通常の機能を示します $M$。

証明。Pedersenの本の定理3.6.4から、から自然な地図を確立することができます。$T(H)/N$ に $M_*$ 沿って $$T(H)/N\longrightarrow M_*$$ $$x+N\longmapsto \phi$$ どこ $x$ 次のようなトレースクラスの演算子です。 $\phi(y)=Tr(xy)$ にとって $y\in M$。この線形写像が全単射であることは簡単にわかります。そして私は確認することができます$||x+N||_1\leq||\phi||$ の定義による $||.||_1$ および極分解 $M$。しかし、証明する方法$||x+N||_1\geq||\phi||$？（ここでは、$||.||_1:=Tr(|.|)$）。

Answer 1

まず、次のことに注意してください。 $a\in B(H)$ そして $b\in T(H)$、ヘルダーの不等式 $$\tag1 |\operatorname{Tr}(ab)|\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). $$ 確かに、書く $b=v|b|$ 極分解、コーシー・シュワルツによる \begin{align} |\operatorname{Tr}(ab)|&=|\operatorname{Tr}(av|b|^{1/2}\,|b|^{1/2})| \leq\operatorname{Tr}(|b|^{1/2}v^*a^*av|b|^{1/2})^{1/2}\operatorname{Tr}(|b|)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\|v^*a^*av\|^{1/2}\,\operatorname{Tr}(|b|)=\|av\|\,\operatorname{Tr}(|b|)\\[0.3cm] &\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). \end{align}

商マップは $*$-与えられた準同型 $z\in N$ 我々は持っています $|x+z|=|x|+w$ いくつかのための $w\in N$。その後、$\|y\|=1$ そして $x=v|x|$ 極分解です、 $$ |\operatorname{Tr}(xy)|=\operatorname{Tr}(v^*|x|y)=\operatorname{Tr}((|x|+w)yv^*) =\operatorname{Tr}(|x+z|v^*y)\leq\|v^*y\|\,\operatorname{Tr}(|x+z|) \leq\operatorname{Tr}(|x+z|). $$ これは誰に対しても行うことができるので $z\in N$、 我々が得る $$\|\phi\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(xy)|:\ y\in M,\ \|y\|=1\}\leq\|x+N\|_1. $$