概算の重要性 $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Aug 17 2020

ブラウン運動の微小生成作用素が $\frac{1}{2}\Delta$、この答えでは、最初に彼は方程式を書きます$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ 次に、彼は次の近似を導き出します。 $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ 次に、「(1)から、次のことがわかります。 $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ は熱方程式の(一意の)解です」

ここで説明するように、近似を熱方程式に単純に置き換えることはできません。もしそうなら、

  1. その投稿の作者がこの概算をしたのはなぜですか?彼はこの近似をどのように証明に使用しましたか?彼がそれを使わなかったら、
  2. 誰かが彼の議論をもっと説明できますか: "(1)から私たちはそれを見る $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ 熱方程式の(一意の)解は... "?

回答

2 snar Aug 16 2020 at 23:37

どういうわけか近似が熱方程式の解を構築するのに役立つと思うので、混乱が生じるかもしれません。何が起こっているのかというと、偏微分方程式(PDE)の解から始め、近似はこのPDEを熱方程式として識別するのに役立ちます。リンクした投稿のいずれにも証拠はありませんでした。それらは、直感を発達させるのに役立つ正式な議論にすぎません。

2番目の質問から始めます。式(1)は$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$定義$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ 設定 $u(t,x) = P_t f(x)$ 式(1)では、次のようになります。 $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ ここに、 $A$ は微分演算子なので、 $u(t,x)$いくつかの初期条件でいくつかの微分方程式を解きます。それはどの微分方程式ですか?

それがどの微分方程式である推測するには、近似$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$使用されている。これを(の左側に直接置く$\spadesuit$)、 あなたが見つけます $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ この関係に基づいて、あなたは何を推測できますか $A$ ですか?