概算 $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log(p)?$

Question

最初のチェビシェフ関数を考えてみましょう $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log(p)$ ここで、合計は以下の素数を超えます $x$。

概算したかった $\vartheta(x).$

私の試みは $f(x)=\sum_{n \ge 2}^x n^\frac{-1}{n}.$ 約過大評価 $2$ で $x=101$ の値を与える $90.177$ 一方、 $\vartheta(x)$ 与える $88.344.$ 方法がわかりません $f(x)$ として実行 $x$ 増加します。

です $f(x)\sim \vartheta(x)?$

Answer 1

あたり $$n^{-1/n} = \exp \biggl(-\frac{\log n}{n}\biggr) = 1 - \frac{\log n}{n} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n^2}\biggr)$$ 我々は持っています $$f(x) = x - \frac{1}{2}(\log x)^2 + O(1)\,.$$ したがって、 $f(x) \sim \vartheta(x) \sim x$。

だが $f(x)$ ずっと近くにとどまる $x$ より $\vartheta(x)$。リトルウッドの結果により、$$\vartheta(x) - x \in \Omega_{\pm}(\sqrt{x}\, \log \log \log x)$$ 一方 $x - f(x)$ 大きさははるかに小さく、常に正です。