限界の正確な定義の論理？
私はトーマスから微積分を勉強している大学新入生です。今、私は証明などで使用するイプシロンデルタ法を使用して限界の正確な定義を学んでいます。
関数の極限を証明するとき、最初に極限が与えられ、次にイプシロンデルタ法が使用されることに気づきました。しかし、これはカートを馬の前に置くようなものではありません。
たとえば、x-> 1で5x-3の制限を証明する必要があるとします。規定された順序は、多項式の置換規則を使用し、制限として2を取得し、イプシロンデルタ法を使用して、制限が実際に2であることを示しているように見えます。これは、制限が不明であってはならないため、混乱します。 '最初に、証明を使用して制限を2として導き出します。最初に、制限2を開始点として使用する必要があることをどのように知ることができますか？論理的な順序は私には逆に見えます。
回答
最初に、制限がどうあるべきかについて、適切な候補者/知識に基づいた推測が必要です。その後、正確な定義を使用して、最初の推測が実際に当てはまることを証明できます。また、制限の定義がどのように与えられているかから、これが最善の方法であることがわかります。
定義。
しましょう $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ 関数であること、 $a\in\Bbb{R}$。私達は言う$f$ に有限の制限があります $a$ 存在する場合 $l\in \Bbb{R}$ そのようなすべてのために $\epsilon>0$、 が存在します $\delta>0$ すべての人のために $x\in\Bbb{R}$、もし $0<|x-a|<\delta$ その後 $|f(x)-l|< \epsilon$。
（この場合、私たちはそれを証明することができます $l$ はユニークであり、 $\lim_{x\to a}f(x)$）
定義が「存在する」で始まることに注意してください $l\in \Bbb{R} \dots$「言い回しの仕方からすると、チェックする前に $\epsilon,\delta$ 基準、制限の候補値が必要です $l$。定義はどこにもあなたに何を教えてくれません$l$ は、またはこれを推測する方法です（このような「推測作業」は、詳細を学ぶにつれて、途中で理解するものです）。
たとえば、2つの機能がある場合 $f$ そして $g$、と $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ そして $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$、そしてあなたがするすべてが限界の定義を見つめることであるならば、あなたがそれを言うことができる方法はありません $f+g$ また、制限があり、制限が等しいこと $l_1+l_2$。唯一の自然な推測は、$f+g$ 限界があったのなら、 $l_1+l_2$。
次に、この推測ができたら、正確なものを使用してこれを証明します $\epsilon,\delta$ 定義（証明の核心は三角不等式です）。