ゲルマン行列にこの正規化があるのはなぜですか?

Aug 18 2020

これはばかげた質問かもしれませんが、なぜゲルマン行列の正規化が行われるのですか( $\mathrm{su}(3)$ リー代数) $$\mathrm{trace}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$$ ただの代わりに $\delta_{ij}$ 要因なし $2$?ほとんどの線形代数では、基底ベクトルは次のように正規化されます。$1$(またはまったく正規化されていません)。リー代数の文脈ではどうですか?要因となるこれを見る方法はありますか$2$ 自然に見えますか?

関連する注記として、一部の物理学のテキストは、「の生成元」を定義することによって正規化を変更します。 $\mathrm{SU}(3)$ グループ」として $T_i=\frac{1}{2}\lambda_i$。しかし、これらはただ満たす$\mathrm{trace}(T_iT_j)=\frac{1}{2}\delta_{ij}$これは私には不自然に思えます。(そして、これら2つの正規化規則の違いは、欠落している要素を追跡するのに1時間かかるだけです。$4$長い計算で。それが私がこの質問をしている理由ですxD)。

回答

2 CosmasZachos Aug 18 2020 at 21:05

歴史。ゲルマン行列は、su(2)のパウリスピン行列の拡張/一般化であり、$\lambda_{1,2,3}$ これらと同一視するので、同じトレース関係に従ってください。

また、パウリ行列がこのようにさらに1/2で正規化され、構造定数εの正規正規化されたsu(2)代数に従い、それによって半角指数が回避される理由も理解できます。