Gilbarg&Trudingerの本のMoserIterationの証明についての疑い

Aug 17 2020

ギルバーグとトラディンガーのモノグラフのモーザー反復についての定理8.15を読んでいました。私は与えられた証明のすべてのステップを理解していますが、注意深く読むことによって解決することができなかった以下の疑問があります。

  1. 著者は、定理の仮説として、それを要求します $f^i\in L^q(\Omega)$$i=1,\ldots,n$ そして $g\in L^{q/2}(\Omega)$ いくつかのための $q>n$ しかし、彼らは証拠のどこにもこれらの事実を使用していないようです:これはそうですか、そうでない場合、これらの事実はどのステップで使用されますか?

  2. 定理は失敗しますか $q\le n$

この証明を完全に理解するのを手伝ってください。

ここに定理のスナップショットをアップロードしました。

式8.3

\ begin {equation} Lu = D_i(a ^ {ij}(x)D_ju + b ^ i(x)u)+ c ^ i(x)D_iu + d(x)u \ end {equation}

式8.30

\ begin {equation} \ int _ {\ Omega} \ left(D_ivA ^ i-vB \ right)dx =(\ le、\ ge)0 \ end {equation}

式8.32

\ begin {equation} \ bar z = | z | + k、\ qquad \ bar b = \ lambda ^ {-2}(| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {-2} | f | ^ 2)+ \ lambda ^ {-1}(| d | + k ^ {-1} | g |)\ end {equation}

式8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

ヘルプヒントは大歓迎です

回答

1 Slm2004 Aug 23 2020 at 22:30

それは間違いなく条件が必要です $f^i\in L^q(\Omega)$ そして $g\in L^{q/2}(\Omega)$

  1. 証明中に、選択する必要があります $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(上記の式(8.37))。これは、次の場合にのみ可能です。$q>\hat n$

  2. 一般に定理は失敗します $q\leq n$。からいくつかの手がかりを得ることができます$W^{2,p}$楕円型方程式の推定。特別な場合を考えて、$f=0$ そして $Lu=g$$u=0$境界に。ザ・$W^{2,p}$ 大まかに言う $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ ソボレフ不等式埋め込み定理を思い出してください。 $W^{2,q/2}\in L^\infty$ もし $q>n$、これは真実ではありませんが $q\leq n$

反例として、1つの要素を取ることができます $g\in W^{2,n/2}$ しかし、 $g\not\in L^\infty(\Omega)$。次に$$\Delta u=\Delta g$$ 解決策があります $u$ 一方(8.34)は真にはなり得ません。