GNS構成のイメージにおける演算子の基準

Question

GNS構成では、 $C^*$-代数 $A$ と状態 $\phi$。次に、表現を構築できます$\Pi: A\rightarrow B(H_\phi)$ 一部のGNSヒルベルト空間 $H_\phi$。

の規範との関係について、有用な一般的な結果はあるのだろうか。 $A$ そしてそれは $\Pi(A)$。私は知っています$\Pi$単射であり、等尺性です。一般に、$\Pi$ 収縮するだけです、すなわち $\|\Pi(A)\|\leq \|A\|$。平等は常に単一の要素によって達成されます。また、下限も明確です$\|\Pi(A)\|^2\geq \phi(A^*A)$。

この質問に関する結果、つまり特定のクラスの要素または特定のクラスの代数の結果に興味があります。何もない場合、物事は2つの明白な境界の間でランダムに動作しますか？（アイデンティティ以外に）下限に達する要素はありますか？

Answer 1

場合 $\phi$ 忠実です、そして $\pi$等尺性です。そうでなければ、あなたが言うことができることはほとんどありません。

表現 $\pi$「ほとんどの」要素の基準を維持できない可能性があります。たとえば、$A=C[0,1]$、および $\phi(f)=f(0)$。次に$H_\phi=\mathbb C$、および $\pi(f)\lambda=f(0)\lambda$、 $\|\pi(f)\|=|f(0)|$。だからここに$\pi$ の基準を下げる $f$ それはでその基準を達成していません $0$。そして、あなたの下限は常に達成されます。

一般に、不忠実な状態は代数の一部を「見る」ことができないため、ほとんど言えません。