群準同型論に対するこの境界準同型の意味は何ですか？

Question

$\require{AMScd}$ しましょう $\Gamma=\{1,\gamma\}$ 次数2の群である。実際の簡約群のガロワコホモロジーからの私の問題で、私は次の可換図式に到達した。 $\Gamma$-モジュール（アーベル群 $\Gamma$-action）\ begin {equation *}％\ label {e：cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @。@VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @。@VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {equation *}ここで、行は正確ですが、列は正確ではありません（および$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$）。図の一番上の行と一番下の行は、正規に分割されています。$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ これらの分割には互換性があります。 $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ にとって $q_3\in Q_3$。テートのハイパーコホモロジーグループを検討します$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ ここで、両方の短い複合体は度単位です $(-1,0)$。

以下では、標準的な境界同型を「手作業で」構築します $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

質問。 ある種の一般理論からこの境界準同型をどのように得ることができますか？

リマーク。グループの場合$\Gamma$次数2の（および任意の巡回群の場合）$\Gamma$）テイトコホモロジーとハイパーコホモロジーは周期2で周期的です。したがって、 $\delta$ 地図です $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ ここで、両方の複合体は度単位です $(-2,-1,0)$。

建設。まずは$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$。ここに$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$つまり、\ begin {equation} q_3 \ in Q_3、\ quad x_3 \ in X_3、\ quad \、^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0、\ qquad \、^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3（q_3）。\ tag {$**$} \ end {equation}標準的に持ち上げます $ q_3$ に $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ そして私たちは持ち上げます $ x_3$いくつかの $ x_2\in X _2$。私達は書く$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ どこ $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ そして $ p_1\in P_1$。設定しました$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ 以来 $(*)$ 我々は持っています $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ わかります $ x_1\in X _1$。私たちは計算します：$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ 沿って $(**)$。さらに、\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} 沿って $(*)$ そして $(**)$。したがって、$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ 私たちはそれを見る $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$。設定しました$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ 簡単なチェックは、マップが $\delta$ 明確に定義された準同型です。

Answer 1

これを処理する最も簡単な方法は、三角圏の形式化であると私は信じています。あなたはさまざまな方法でそれを行うことができます：無制限の導来圏で作業するか、（おそらくより簡単に）各モジュールを交換します$M$ と $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ どこ $\mathcal R$ の完全な解決策です $\Gamma$、すなわち、標準の無制限の2周期複合体 $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$の $\Gamma$-モジュール。

それでは $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ 任意の三角圏の正確な三角形であり、 $Q_3\to X_2\to P_1$合成がゼロの任意の射である。しましょう$P$ の繊維になります $X_1\to P_1$ そしてしましょう $Q$ の共繊維になる $Q_3\to X_3$。私たちの目的は、すべての標準的なマップから構築することです$Q\to\Sigma P$。さらに、次の場合にのみ同型であるようなマップがあることがわかります。$Q_3\to X_2\to P_1$ 正確です。

コンポジット以来 $Q_3\to X_2\to P_1$ ゼロ、マップ $X_2\to P_1$ のコファイバーによる要因 $Q_3\to X_2$、 $X_2\to Q_0$、およびマップ $Q_3\to X_2$ 繊維を介した要因 $P_0\to X_2$ の $X_2\to P_1$。したがって、全体として$X_1\to P_1$ コンポジットへの要因 $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$、ながら $Q_3\to X_3$ コンポジットへの要因 $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$。

これらの状況では、 $Q_3\to P_0$ の繊維と同型です $Q_0\to P_1$; でそれを示す$H$、コンポジット $P_0\to H\to Q_0$ コンポジットです $P_0\to X_2\to Q_0$。

八面体公理の8つのインスタンスを取得し、さまざまなコンポジットについて $f\circ g$ 正確な三角形があります $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ そして $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$。厳密に言えば、すべてが必要なわけではありませんが、完全を期すために、すべてをリストしておきます。

構成可能なペア	正確な三角形を与える
$Q_3\to P_0\to X_2$	$H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$	$X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$	$P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$	$Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$	$P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$	$Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

すべてを1つの図にまとめると、次のように、3つのオブジェクトが付いた線は正確な三角形を表します。すべてが通勤します。