グループの条件は何ですか $G$ 2つの正規部分群の積に等しくなるように

Question

場合 $G$ グループであり、 $N,M$2つの通常のサブグループです。私たちはその製品が$NM$ の通常のサブグループです $G$、しかしいつ私はそれを言うことができます $G=NM$。の条件は何である必要があります$N,M$？

Answer 1

これらの例で言及されているすべてのグループが有限であると仮定します。
例：if$|G:M|$ そして $|G:N|$ある互いに素その後、$G=NM$。証明：$|G:NM| \mid |G:M|$ そして $|G:NM| \mid |G:N|$。
別の例：if$|M|$ そして $|N|$ある互いに素と$|G|=|N| \cdot |M|$、その後 $G=NM$。
さらに別の例：if$M$で最大のサブグループと$N \not \subseteq M$、その後 $G=NM$。

有限群の（通常の）指標理論に精通している場合：if$\varphi$ のキャラクターです $M$ と誘導制限 $(\varphi^G)_N$ 既約であるなら $G=NM$。

Answer 2

集中的に研究されてきたより一般的な質問があります。つまり、いつそれを言うことができますか $G=AB$ サブグループの場合 $A,B$？そのようなグループ$G$因数分解可能と呼ばれ、それらについての大規模な文献があります。

いくつかの些細な条件があります、例えば、 $AB$ のサブグループです $G$ 場合に限り $AB=BA$、 見る

しましょう $A,B$ グループのサブグループになる $G$。証明する$AB$ のサブグループです $G$ 場合に限り $AB=BA$

因数分解可能なグループに関する参照：たとえば、Arad、およびAmberg、Bによる多くの論文。Franciosi、S.、Degiovanniなど、Gorenstein、 Hersteinによる論文もあります。

その他の参考資料については、このMOの投稿も参照してください。