行列の立方根。

Question

次のような行列Aを見つけるにはどうすればよいですか？ $B=A^3$ どこ $$B=\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

の特性多項式に取り組んでみました $A$、しかしそれが $f(t)=(8-t)^3$ 次に、の唯一の固有値 $B$ 私がやりたかったのは書くことです $B=QDQ^{-1}$ どこ $D$は対角行列ですが、できませんでした。私はすでにそれを知っています$A$ と等しくなければなりません $\begin{pmatrix} 2 & 1 &-1/2 \\ 0 &2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$。

暗示はありますか？

Answer 1

これは、自己完結型の優れたアプローチです。しましょう$I$ 単位行列を示し、 $$ N = \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}. $$ あなたのマトリックスは $$ B = 8I + 12 N. $$ 私は（「推測」として）この行列の立方根は次の形式で記述できると主張します。 $$ A = a_0 I + a_1 N + a_2 N^2. $$ それに注意してください $N^3 = 0$、拡大します $(a_0 I + a_1 N + a_2 N^2)^3$ 取得するため $$ B = A^3 = a_0^3 I + 3a_0^2a_1 N + 3a_0(a_1^2 + a_0a_2)N^2. $$ これで、システムを解決するのに十分です。 $$ \begin{cases} a_0^3 = 8\\ 3a_0^3a_1 = 12\\ 3a_0(a_1^2 + a_0a_2) = 0. \end{cases} $$