Gysinは $K$-理論はコボルディズムを尊重しますか?

Aug 16 2020

しましょう $X_1$ そして $X_2$ 2つのクローズドスピンである$^c$ スピンを介して調和する多様体$^c$ 境界付き多様体 $W$

しましょう $Z$ クローズドスピンになる$^c$ マニホールド付き $\dim Z=\dim X_1$ モッド $2$。しましょう$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ 次のような滑らかなマップである $F|_{X_1}=f_1$ そして $F|_{X_2}=f_2$。私たちは関連付けることができます$f_1$ そして $f_2$ の2つの間違った方法(またはGysin)マップ $K$-理論:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

しましょう $E_1\to X_1$ そして $E_2\to X_2$ 二人になる $\mathbb{C}$-ベクトル束が存在するようなベクトル束 $\Omega\to W$ 満足 $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ そして $\Omega|_{X_2}\cong E_2$。しましょう$[E_i]\in K^0(X_i)$ を示す $K$-によって定義された理論クラス $E_i$

質問:それは本当ですか$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$

後に追加:私は、K理論/ Kホモロジーにポアンカレ双対性を直接使用しないアプローチに最も興味があります。

回答

1 BadEnglish Aug 20 2020 at 22:43

しましょう $N^n=\partial M^{n+1}$$E\in K^\bullet(M)$ そして $f:M\to X$

スムーズな埋め込みを選択してください $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$、で表す $\chi$ の通常のバンドル $X$ そしてによって $\mu$ の通常のバンドル $M$ の適切な小さな変形後 $i\circ f$

しましょう $\nu=\mu|_N$ そして $\eta$ の通常のバンドルである $N\subset M$ (これは些細で一次元です)

管状近傍を考慮することにより、自然なマップが得られます。

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$、 どこ $Th$ トム空間を示します。

トム同型を適用した後 $th$ オン $K^\bullet$ Gysinマップの定義を取得します( $Th$の)。だから$f_!(E|_N)=0$ それを証明するだけで十分です $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

実は $t^*$接続する同形性を通過しています。つまり、可換図式があります。

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

上の矢印は管状近傍から来ています。

水平同型写像は、 $\eta$、停止中 $\Sigma$ Puppeコファイバーシーケンスから:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

地図 $\sigma$ 可換性を説明し、から来ています:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ どこ $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ の襟です $N$

最終的に、 $\Sigma^*$ は接続する同形性であり、それは次のようになります $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ すべてのために $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$、 そう $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

4 NicholasKuhn Aug 16 2020 at 20:09

答えはイエスです。オリエンテーションと基本クラスの一般的なプロパティを使用します。

しましょう $X_1$ そして $X_2$ されます $n$-次元。次に$f_{!i}$ コンポジットです $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

一方、ポアンカレ双対性 $W$ 形があります $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$、および $d([W]) = [X_1]-[X_2]$。したがって、$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$、 など

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

コンポジット以来

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

はゼロです。