$h^{p,q}$ 複素トーラスの。

Question

ご存知のように、自明な標準束を持つコンパクトなケーラー曲面は、K3曲面または次元2のトーラスです。 $h^{0,2}$ K3曲面のは1であり、私は知っています $h^{0,2}$ トーラスの数はゼロであってはなりません（そうでない場合は常に代数的です）が、計算方法がわかりません $h^{0,2}$ 次元2の複素トーラスの。

ちなみに、次元の複素トーラスのすべてのホッジ数を計算する一般的な方法はありますか？ $n$？コメントは大歓迎です！

Answer 1

タグホッジ理論を使用しているので： $\mathbb C^n/\Gamma$ のそれからのフラットメトリック $\mathbb C^n$。したがって、すべての調和形式を見つけるだけで十分です。

複雑な余接束は取るに足らないものであり、グローバルな形式にまたがっているため $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ すべて $(p, q)$-フォーム $\mathbb C^n/\Gamma$ によってグローバルに与えられます $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

どこ $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$。以来

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

もし $\alpha$ 調和的です、 $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$調和関数でなければなりません。以来$\mathbb C^n /\Gamma$ コンパクトで、 $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$最大原理による定数です。したがって、$H^{p,q}$ にまたがる $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

そして

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$