波動関数の崩壊後の位相はどうなりますか？
初期量子状態を仮定します $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$、 どこ $\phi_i$ は固有値を持つ固有関数です $\lambda_i$いくつかの測定オペレーターの。測定後、システムは状態にあります$\phi_i$ 確率で $|a_i|^2$。
測定後のフェーズはどうなりますか？直後の測定は常に同じ値を返す必要があるという原則は、結果のフェーズに関係なく満たされます。システムはどのような状態でも見つかる可能性があります$b\phi_i$、限り $|b|^2=1$。量子力学の仮説はこれについて何かを指定していると確信していますが、私はそれを扱ったテキストを見つけることができませんでした。どうしたら良い$b$ でしょうか？
回答
量子力学では、状態はヒルベルト空間の光線で表されます。より正確には、状態の空間は射影ヒルベルト空間です。たとえば、有限次元システムの場合、空間は次のようになります。$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$、どこのために $u, v \in H_n$、 $u \sim v$ もし $u = \alpha w$ ゼロ以外の複素数の場合 $\alpha$。
現在、通常、私たちは射影空間ではなく単純なヒルベルト空間で作業することを好み、有用な場合はいつでも商を課すことを選択します。ヒルベルト空間での作業中に自由に使えるより多くの有用なツールがあるからです。
ただし、実際の状態空間は射影ヒルベルト空間であることを常に覚えておく必要があります。つまり、「システムはどの状態でも見つかる可能性があります。 $b\phi_i$ 限り $|b|^2 = 1$「別々の州がないので、意味がありません $b\phi_i$-これらすべての状態が「同じ」であるということでもありません-本当の理由は、状態が1つしかないことです$\phi_i$ 射影ヒルベルト空間で。
波動関数の崩壊は、測定値をデコヒーレンスを伴う観察対象のものとの絡み合いとして現実的に説明するのは面倒であるため、私たちが採用している単なるフィクションです。
量子力学の位相は観察できません。あなたは何か他のものと比較して何かの位相を決定することができるだけです。フェーズ$b_1$システムが状態1にあることを測定した後の状態は、それ自体では何の意味もありません。フェーズなどの他のフェーズと比較する必要があります$b_2$ 状態2であると測定した人と絡み合っているシステムの。これを行うことができれば、たとえば、次のように言うことは意味があります。 $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$いくつかの価値があります。これを行うには、状態1の人と状態2の人の間の干渉を測定するようなことをする必要があります。しかし、崩壊が適切な近似である理由は、デコヒーレンスによってこの種の干渉を検出できなくなるためです。 、そのため、人1は他の可能性の存在を追跡するのをやめたほうがよいでしょう。
測定後、システムは状態にあります $\phi_i$ 確率で $|a_i|^2$。
ほとんど、正しい最終状態は $$a_i\phi_i,$$これは、射影演算子を適用した結果です。必要に応じて、次のように正規化できます$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$しかし、他の州と比較したり重ね合わせたりしないことがわかっている場合にのみ、それを行う必要があります。正規化するときは、位相を削除しない実数で除算します。状態を他の状態と比較/重ね合わせる予定がない場合にのみ、全体的なフェーズは重要ではありません。
最終状態を確認する1つの方法は $a_i\phi_i$、または位相が損なわれていない正規化されたいとこが必要な場合は、最初に、 $i$th係数 $a_j$は0であり、システム+装置の全体的な測定後の状態を考慮します。連続性により、測定直後の全体的な状態は、測定直後とまったく同じです（この質問では瞬間的な崩壊について話します）。したがって、システムの測定後の状態を、すぐに測定前の状態にも割り当てる必要があります。$a_i\phi_i$。それ以外のものは、奇妙なアドホックな不要なステップになります。
一般的なケースでは、他の係数がゼロ以外の場合、線形性によって同じことが当てはまります。これは、状態を折りたたむことは、結果のブランチの1つだけを保持することを意味するためです。