半直接基とメタサイクリック基

Aug 18 2020

しましょう $G$ そして $H$ グループになり、 $\theta : H \to Aut G$準同型。定義する$G\times_{\theta}H$ の半直積と呼ばれます $G$ そして $H$。

しましょう $C_{p}=\langle a\rangle$ そして $C_{q}=\langle b\rangle$ 素数次数の（乗法）巡回群である $p$ そして $q$ それぞれそのような $p > q$ そして $q\mid p — 1$。

a。地図$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ によって与えられた $a^{i}\mapsto a^{si}$ 自己同型です。

b。地図$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ によって与えられた $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ （（$\alpha$ パート（a）のように）は準同型（$\alpha^{i} = I_{C_{p}})$。

c。私たちが書くなら$a$ にとって $(a,e)$ そして $b$ にとって $(e,b)$、次にグループ $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ 位数のグループです $pq$、によって生成されます $a$ そして $b$ 関係の対象： $|a|=p$、 $|b| = q$、 $ba = a^{s}b$、どこ $s\not\equiv 1 (\mod p)$、および $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$。グループ$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ メタサイクリックグループと呼ばれます。

私はそれを解決しようとしました、それ以来$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$p$ is prime}\rbrace$、したがって、一部の人にとって $s\in \mathbb{Z}$、 $(s,p)=1$、この場合 $\alpha^{s}$ のジェネレータでもあります $C_{p}$、今いくつかのために $m\in \mathbb{Z}$ 実装 $s^{m}\equiv1(\mod p)$、地図 $\alpha:C_{p}\to C_{p}$自己同型を定義しました。計算済み$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$。

bについては、定理\ textit {Dyck}を使用してみましたが、よくわかりません。

私はそれを解決する方法や提案を知りたいです、私は感謝します

回答

1 rain1 Aug 18 2020 at 03:07

しましょう $q | p-1$ そして $C_p = \langle a \rangle$ そして $C_q = \langle b \rangle$。

半直積の場合 $C_p \rtimes_\theta C_q$ 群準同型を定義する必要があります $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$。

私たちは注文のグループを持っています $pq$ そして $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$

最初 $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

自己同型、つまりからの群同型になります $C_p$ に $C_p$、それは全単射でもある群準同型です。

それが群準同型であることを示すことができます：

$\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
$\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

そしてこれらは等しいのでそうです。

そして、乗算すると全単射になります $s$ 可逆modです $p$。

$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

これが群準同型であることを示します。

$\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ に適用する $a^k$： $a^{s^{i+j} k}$。
$\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ に適用する $a^k$： $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

これらは等しいので、これは有効な群準同型です。

詳細 $s$：

から $\alpha$ 可逆であるためには、 $s$ ユニットモッドです $p$。

から $\theta$ からの群準同型であること $C_q$ （すなわち $\theta(b^q) = \theta(1)$）それが必要です $\alpha^q = 1$。だから私たちは必要です$s^q \equiv 1 \pmod p$。

今、私たちは常に持っています $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 原始根を取ることができるように $r$ と通知 $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ だから私たちは見つけます $s$ 上げることによって $r$ 力に $(p-1)/q$。

一般に、半直積には次のような乗算演算があります（$b$ は一般的な要素であり、のジェネレータではありません $C_q$ 次の行のみ）：