半減期が5年の1キログラムの放射性物質は、次の1分で崩壊するのでしょうか？
先生が学校に戻って放射性物質の半減期について教えてくれたので、これは疑問に思いました。このように考えるのは直感的に思えますが、私が間違っていることを証明するより深い説明があるのではないかと思います。
多くの原子が関与している場合、半減期は統計的に保持できますが、個々の原子の崩壊は完全にランダムでステートレスであるため、1 kgの物質内のすべての原子が、確率があったとしても、次の1分間に崩壊することを決定することはできません。発生するこのイベントの非常に小さいですか？
回答
簡単な答えは「はい」です。原子がいくつあっても、次の1分ですべての原子が崩壊する可能性は常にあります（時には消えていくほど小さい）。楽しい答えは、実際にこの確率は原子の多数のために取得する方法小さな見ています。
適度な半減期があるので選んだヨウ素131を見てみましょう$8$ 日= $\text{691,200}$秒。今$1$ ヨウ素131のkgは約 $7.63 \times N_A$ その中の原子、ここで $N_A$アボガドロ定数です。時間内の原子の崩壊の確率の式を使用する$t$：
$$ P(t) = 1-\exp(-\lambda t), $$
そして、すべての崩壊が統計的に独立していると仮定します$^\dagger$、すべての原子が1分で崩壊する確率は次のとおりです。
$$ (1-\exp(-\lambda \times 60\,\text{s}))^{7.63\times N_A} $$
どこ $\lambda$ は減衰定数であり、 $\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$、この場合、ほぼ正確に $10^{-6}\,\text{s}^{–1}$。そう$$ P = (1-\exp(-6\times10^{-5}))^{7.63\times N_A} \\ \approx(6\times10^{-5})^{7.63\times N_A} \\ \approx (10^{-4.22})^{7.63\times N_A} \\ = 10^{-4.22\times7.63\times N_A} \\ \approx 10^{-1.94\times10^{25}} $$
（具体的な例としてヨウ素131を選択しましたが、質量や半減期に関係なく、ほとんどすべての放射性原子が同様の確率になります。）したがって、この実験を $10^{1.94\times10^{25}}$このような設定では、平均して、設定の1つですべての原子が崩壊すると予想されます。
この数がどれほど理解できないほど大きいかを理解するために、「のみ」があります。 $10^{78}$ 宇宙の原子-それは $1$ に続く $78$ ゼロ。 $10^{1.94\times10^{25}}$ です $1$その後、10億を超えるゼロが続きます。私はむしろ馬に賭けたい。
$^\dagger$ このポアソン分布モデルは単純化されていますが、このシナリオではおそらく大まかな近似です。統計的独立性からのわずかな偏差でさえ、原子の数を考えると大きな抑制係数になる可能性があるためです。 $10^{1.94\times10^{25}}$ は確かに上限です（もちろん、原子がで無限大に分離されている場合、近似は完全に正当化されます $0 \text{ K}$、またはそれらの崩壊生成物は、 $1/N_A$-他の原子の崩壊確率の次数の変化）。より詳細な分析は、検討中の同位体に合わせて特別に調整する必要があります。または、減衰を一定にすることで次の近似を行うことができます。$\lambda$時間の厳密に増加する関数。真の確率は、この封筒裏の推定よりも計算がはるかに困難ですが、それでも驚くほど広い領域にぶつかることになりますのでご安心ください。$1$ に $1$ 数兆個のゼロが続きます。
TLDR：統計モデルはモデルであるため、定義上、現実を完全に反映したものではありません。
ニハールの答えは良いですが、私は別の方向からそれに取り組むつもりです。
まず、統計力学だけを見ると、数学を実行できます。もちろん、確率は非常に小さいことがわかります。あなたはそこで止まるかもしれません。しかし、統計力学は統計モデルを使用しており、すべてのモデルが間違っています。彼らは仮定を立て、複雑な問題を解決するために必然的に現実を単純化します。そのような急速な崩壊の可能性を否定する統計力学では説明されていないいくつかの物理的プロセスが非常によくある可能性があります。
古典的な例は、部屋を持っていて、突然すべての酸素が部屋の半分だけにある確率を計算することです。統計力学の観点からは、基本的には、公正なコインを想像を絶するほど何度も裏返し、すべて同じように着地させる確率です。しかし実際には、モデルによって作成された仮定が現実を完全に反映していないため、計算する想像を絶する小さな数は実際には正しくありません（たとえば、粒子は互いに相互作用します）。理想気体の法則と同じように、これらのことは便利ですが、仮定から大きく外れると完全に失敗する可能性があります。もちろん、これはすべての統計モデルに当てはまります。
したがって、半減期の統計モデルが現実の完全に正確な表現であると仮定すると、あなたの質問に対する答えは技術的にはイエスです。もちろんそうではないことはわかっているので、それが私の最後のポイントにつながります。
非常に小さい確率を扱っているので、これらの種類の質問には重い哲学的要素もあります。事実上0です。誰かがコインを10億回裏返し、それが公正なコインだと誰も思わないたびに尾を引く場合、明らかにそうではないので*。また、最先端の暗号化を検討することもできます。キーをランダムに推測する確率は非常に低いため、すべての目的と目的で0になります。または、粉々に砕けたガラスの束が花瓶になっているビデオを見ると想像してみてください。あなたの結論は「熱力学を見て、あなたになりたくない」ではなく、「私は花瓶が逆に砕けるビデオを見ている」ということになるでしょう。はい、これらのイベントに関連する技術的に小さな確率がありますが、それらが技術的に可能であると言うことは何よりも哲学的な声明であるほど小さいです。
*公正なコインのアイデアは、それ自体がうさぎの穴です。コインが公正であるとどのように判断しますか？それを何度も投げて、ほぼ同じ数の尾と頭を観察することによって。50/50から大きく外れている場合は、偏っていると宣言します。しかしもちろん、どのような結果を観察しても、それが公正なコインである可能性は常にあるので、技術的には確実に知ることはできません。統計を利用するためには、ランダムな確率でカットオフポイントを任意に選択する必要があります。通常、これは2シグマ、おそらく3です。CERNは新しい粒子の検出に5シグマを使用しますが、これも任意です。応用統計は、数学の一分野であると同時に芸術でもあります。
覚えておくべきことの1つは、これは統計の質問だけではなく、原子が崩壊してコインを弾くというアナロジーは誤解を招く可能性があるということです。
たとえば、ウラン235の半減期は7億年以上ですが、適切な構成（最密充填）および適切な量（臨界質量を超える）で導入すると、実質的に瞬時に崩壊します...原子の崩壊は、連鎖反応で別の原子の崩壊などを引き起こす可能性があります。
したがって、すべての減衰が互いに独立して発生すると想定できる場合、純粋に統計に基づく回答は有効です。統計よりも多くの物理学が関係している場合、それは正確な材料、つまりどの材料、それが純粋であるか、どの構成であるかなどに依存します。
答えはノーだ'。この「いいえ」は、次のような同じレベルにあります。
- 部屋の真ん中に15分間浮かんでいることが起こり得ますか。（統計力学は技術的にはそうですが、すべての実用的な目的のために確率はゼロです）
- タイプライターの前に猿を置いて、シェイクスピアの小説をそこから出すことはできますか？
- 固い壁を通り抜けることができますか（量子力学によるトンネル確率がゼロではない）
それが現実の世界で起こるためには、あなたはその材料の約380万キログラムから始める必要があります。
これがあなたがその数を思い付く方法です。半減期を時間の経過に伴う粒子数に関連付ける式から始めます
$$ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$
今、あなたは置き換えます $N(t)$ あなたが欲しいもので $$ N_0 - 1~\text{kg} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$ そして、あなたは $N_0$ $$ N_0 = \frac{1~\text{kg}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}}}$$ この時点では、プラグを差し込むだけです。 $t=60~\text{s}$ そして $t_{1/2}=5~\text{y}$。
このサイトの人々は、ほとんどの場合、数字を掛け合わせて確率を得ることができると考えているようです。したがって、答えは確率が秩序のあるものであるということです。 $10^{-10^{25}}$。
これに伴う問題は、減衰イベントが完全に独立したイベントではないため、この計算方法が間違っていることです。最初の非常に大まかな概算としては問題ありません。答えは確かに小さな数になりますが、答えはこの特定の小さな数ではありません。私が2番目の「非常に」を大文字にした理由を読むとわかります。
物理学全体に協調効果があります。たとえば、崩壊する固体では、1つの原子核から放出された粒子が他の原子核を乱します。これは小さな効果ですが、小さな確率のイベントを検討するときは、そのような小さな効果について考える必要があります。もう1つの要因は、周囲の電磁界です。これは、熱状態にある可能性がありますが、真空状態でも、サンプル全体に相関効果をもたらします。電磁界は放射性崩壊にほとんど影響を与えませんが、すべての原子核が独立して振る舞うという仮定から生じる小さな数と比較して、一度にすべての原子核に影響を与える可能性のあるものは無視できない影響を及ぼします。
これらの協調効果の影響を大まかに感じてみましょう。ために$n$ 独立したイベント、それぞれの確率 $p_0$、全体的な確率は $p_0^n$。しかし、1つのイベントが発生した場合、他のイベントの確率が少し増加するとします。$p_0$ に $p_1 = p_0(1 + \epsilon)$ いくつかの非常に小さい $\epsilon$。これらのさらなるイベントが独立している場合、全体的な確率は次のようになります$p_0 p_1^{n-1}$。これはより大きい$p_0^n$ 比率で $$ \frac{p_0 (p_0 + \epsilon p_0)^{n-1}}{p_0^n} = (1 + \epsilon)^{n-1} $$ と $n$ アボガドロ数の順序の、あなたはその値を見ることができます $\epsilon$ の順序の $1/N_A$ 全体的な確率に無視できない増加を導入するのに十分です。ここで、「無視できない」とは、「次数の係数」を意味します。 $1$"。しかし、全体的な確率は小さいままです。
それは他の原子に影響を与えたたった1つの原子でした。それらがそれぞれそのような効果を持っている場合、1つは$(1 + \epsilon)$ 係数を次数で累乗 $N_A^2$。だからこの種の議論によって数$10^{-10^{25}}$ 私が始めたものは、簡単に同じくらい大きくなる可能性がある要因によって間違っています $2^{N_A}$。私は不正確さを注意深く述べようとはしていません。私はただに基づいて計算すると言っている$N_A$ 独立したプロセスは、莫大な要因によって間違っている最終的な答えを与えます。
次に、すべての原子核を刺激するのに十分な電磁場の変動、エネルギー障壁を越えて電子やアルファ粒子などを逃がすのに十分な電磁場の変動など、ある種の協調効果について考えてみましょう。原子核を乱すには、メガ電子ボルトのオーダーのエネルギーが必要ですが、室温では、熱放射にはオーダーのエネルギーの光子があります。$k_B T \simeq 0.026$eV。しかし、ボルツマン係数を信頼する場合、次の確率を大まかに見積もることができます。$\exp(-E/k_B T)$ エネルギーのモードの励起を得るために $E$。と$E = 1$ 与えるMeV $\exp(-4 \times 10^7)$室温で。「これらすべての」ガンマ線光子が周囲にあると、放射性崩壊プロセスはわずかに異なる方法で発生します。もちろん、この確率は再び小さいですが、それはよりもはるかに大きいです$10^{-10^{25}}$、したがって、後者の数値がさらに右に近いことを発表する前に、考慮に入れる必要があります。これは、あらゆる種類の相関または協調効果のごくわずかな量でさえ、複数の独立したイベントの確率を圧倒するのに十分であるためです。
ガンマ線で刺激された崩壊の断面積を見つけ、散乱計算を行うことにより、これらの熱ガンマ線の影響を推定することができます。答えはわかりませんが、$10^{-10^{25}}$。
要約すると、最初に提起された質問に対する簡単な答えは、「いいえ、それは起こり得ない」です。長い答えは、他の多くの奇妙な出来事の場合と同じように、物理学がそれが起こる可能性がゼロ以外の非常に小さい確率があることを示唆していることを認めています。確率の値については、迅速な計算で適切な桁数にさえ近づくことはできません。それを推定するために、最初に独立減衰計算を実行して、それが発生する可能性が最も高いルートではないことを自分自身に納得させます。次に、どのような物理的効果が複数の核を一度に崩壊させることができるかを考え、それらを推定するというはるかに難しい問題が残されています。その数に比べて答えは小さいに違いないと思います$\exp(-4 \times 10^7)$これは上で述べましたが、確率が実際に何であるかについてはほとんどわかりません。多分最低$10^{-10^{10}}$？
おそらく、私が主張していることを再度強調することは価値があるかもしれません。物体が斜面を滑り落ちる、振り子、原子など、より一般的な物理シナリオを計算するときは、光年離れた惑星への引力などの無視できる影響を正しく無視し、メインに焦点を合わせます。貢献。同様に、この場合、正しいアプローチは、すべての原子核が同じ分に崩壊するため、確率への寄与を無視できるものとして単純に認識し、他の方法に関連するはるかに大きな確率に焦点を当てます。結果が発生する可能性があります。これを行わない計算は、単純に間違っています。実際には1ペタ秒のオーダーであるのに、時間は1フェムト秒のオーダーであると述べるようなものです。それは合理的な見積もりとは見なされませんが、単に間違っており、恥ずかしいほど大きな要因によってです。
理想化されたモデルではなく、実際のプロセスで何が起こっているのかを理解したい場合は、実際のプロセスについて考える必要があります。
最後に、私が言及した効果は実際にはほとんど消えていないことを強調したいと思います。しかしと比較して$10^{-10^{25}}$ 彼らは巨大です。
@Niharは素晴らしい答えを持っています：それは可能ですが、1のチャンスがあります $10^{1.94\times10^{25}}$
それは本当に大きな数です。独自の指数で表す必要のある指数を使用する場合、実際の意味を考えるのが難しい場合があります。いくつかの観点から：
- 約あります $5\times10^{19}$ 砂粒中の原子
- 約あります $8\times10^{18}$ 世界の砂粒
- それは約です $4\times10^{38}$ 世界のすべての砂の原子
- 約あります $1.33\times10^{50}$ 世界のあらゆる種類の原子
- 約あります $10^{56}$ 太陽系の原子
- 間にあります $10^{78}$ そして $10^{82}$ 宇宙の原子
の最大の見積もりを使用する $1\times10^{82}$宇宙の原子については、砂粒と宇宙全体を比較すると、指数が19から82になりました。この指数は1,940,000,000,000,000,000,000,000,000です。
これが起こる合理的なチャンスを得るために、いくつの試行をしなければならないでしょうか？少なくとも1回発生するランダムイベントのオッズを計算するための式は次のとおりです。$1-(1-P)^y$ ここで、Pは確率です $1/{10^{1.94\times10^{25}}}$。yの値が大きいと、官能的な結果が得られるアプリは見つかりませんでしたが、y = Pの場合、オッズアプローチ${-(1-e)}/e$Pが大きくなるにつれて。それは約63.2％です。だから私たちがそうするなら$10^{1.94\times10^{25}}$ 試行では、少なくとも1回は発生する可能性が約63.2％で、まったく発生しない可能性は約37.8％です。
では、どうすれば想像できますか $10^{1.94\times10^{25}}$ 裁判？
宇宙のすべての原子を取り、それらをすべて別々の1kgのヨウ素131の束に変えると、 $2.2\times10^{57}$そのうちの。目に見える宇宙のボリューム全体に広がる（$3.57\times10^{80} m^3$）、それはすべて1つのバンドルです $1.6\times10^{23}$立方メートル、これは片側57,000キロメートルの立方体で、中央に1kgのヨウ素-133の束があります。宇宙の年齢は137.72億年と推定されています。$7.24\times10^{15}$分。これらすべてのヨウ素133の束を取り、ビッグバンから現在まで、毎分実験を再実行した場合（各試行で崩壊した原子をヨウ素131に戻す）、それは約$1.6\times10^{73}$ 個々の試験。
73のその指数は、63.2％の確率で発生する必要がある指数の近くにはありません。約ある必要があります$2.66\times10^{23}$ ヨウ素131に変換された原子の宇宙は、137億7700万年間、毎分実験を再実行し、少なくとも1回は63.2％の確率で実験を行います。
これを理解するには、何が核崩壊を引き起こすのかを知る必要があります。その答えは、量子力学的振る舞いの美しい例です。何もそれをトリガーしません。それは、世界が基本的に量子力学的であり、確率論的であるということだけです。
「いいえ、トリガーイベントはありません、それはただ起こります、量子力学はそのようなものです」という他のすべての答えは完全に正しいです。
放射性元素が崩壊する前に何が起こりますか？
あなたができることは確率を計算することだけです。
したがって、あなたの質問に対する答えは、そうです、材料が次の1分で崩壊する確率はゼロではないということです。
しかし、あなたの質問は、材料中のすべての原子が次の分に同時に崩壊する可能性があるかどうかについてです。そして答えは再びイエスです、それが起こる可能性はゼロではありませんが、それは確率が非常に小さいために起こり、私たちの宇宙の時代のような巨大なタイムスケールでさえ、私たちにとってほとんど可能性がありませんそれが起こるのを観察する。