反対側が識別された六角形からのトーラスの基本群

Nov 24 2020

反対側が識別された六角形はトポロジカルトーラスです。こことここを参照してください。

これは、トーラスの基本群が次のように記述できることを私に示唆します。 $\langle x,y,z|xyzx^{−1}y^{−1}z^{−1}\rangle$、しかし明らかにこれは真実ではありません(たとえば、ここで述べたように)。なぜだかわかりません。

トーラスの基本群は、反対側が識別された六角形から開始して見つけることができますか?

回答

4 LeeMosher Nov 24 2020 at 05:00

六角形の接着図を使用してプレゼンテーションを書き留めるために使用した方法は、強力な仮説の下でのみ有効です。接着図には1つの頂点サイクルがあります。

しかし、1つの頂点サイクルの仮説は、2つの頂点サイクルを持つ六角形の接着図では満たされません。六角形の周りに頂点をA、B、C、D、E、Fのように順番に書き込むと、A、C、Eが1つの頂点サイクルを形成し、B、D、Fが2番目の頂点サイクルを形成します。

この仮説の理由は、示されているようにエッジペアを接着することによって接着図の商面を形成する場合、エッジのイメージが商面の1骨格を形成し、1骨格に一意の頂点が必要になるためです。各エッジがグループのジェネレータにクローズアップするため。

一方、頂点サイクルが2つ以上ある場合でもプレゼンテーションを取得できますが、そのためには、最初に商サーフェスの1つのスケルトンで最大ツリーを選択し、それらのエッジを「赤」に色付けする必要があります。ポリゴンの対応するエッジペアに「赤」の色を付けて、プレゼンテーションを作成するときに赤いエッジを無視します(トポロジ的に起こっていることは、最大ツリーをポイントに折りたたむことによってさらに商を取っていることです)。

したがって、たとえば、六角形の接着では、六角形の境界の対応するエッジペアがである単一の赤いエッジで構成される最大ツリーを選択できます。 $z,z^{-1}$。したがって、式に従うと、無視します$z$ ジェネレーターであなたの無視 $z$ そして $z^{-1}$ 関係者で、そしてあなたはプレゼンテーションを得る $$\langle x, y \mid x y x^{-1} y^{-1} \rangle $$