ハルホワイト拡張バシチェックモデル

Question

ハル・ホワイトの「金利デリバティブ証券の価格設定」（1990年）の画期的な論文の公式を理解しようとしています。（11）を再配置して境界条件を適用すると、6ページの（13）がどのように発生するかがわかりません（以下を参照）。

私の初歩的な微積分に問題がある場合は、ポインタとお詫びをお願いします。

Answer 1

そうです、式（11）は（7）から機械的に導出されます（導関数wrtを $T$そして、（7））と組み合わせると、どういうわけか（7）を覚えていなくても（11）から（13）が得られると思います。たぶんスマートに統合することによって（例えば、$B_tB_T - BB_{tT}$ 導関数の分子は $t$ 分数の $B/B_T$）そして境界条件を使用します（私はそれを理解できませんでした）。

もちろん、私たちにできることは、で一次線形方程式を解くことです。$t$ （7）

$$ B_t = a(t)B-1. $$

通常のプリミティブ関数を使用すると：

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

式（7）の一般的な解は次のとおりです。

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

と $c(T)$ の任意の機能 $T$。

なので $B(T,T)=0$、必要なもの：

$$c (T)= -\beta(T).$$

そう：

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

次に、このソリューションが（13）を尊重していることを簡単に確認できます。

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

編集：（11）は次のように書くことができることに注意してください：

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ これは $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

この時点で、（7）から、右側は次の関数であることを覚えておく必要があります。 $t$ のみ、 $a(t)$そうしないと、ここから先に進むのが面倒になります。解決策は$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ ために $ \gamma (T)$ の任意の関数 $T$。wrtをに統合する$T$、 我々が得る：

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ ために $ \eta (t)$ の任意の関数 $t$ そして $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$。

境界条件 $B(T,T)=0$ その後、強制します。

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

そう、

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

もう一度、それに注意してください

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

（7）は、次のことを意味します。

$$\eta(t) = \beta(t). $$