派生 $\left( A | v \rangle \right)^\dagger = \langle v | A^\dagger$ 使わずに $A^\dagger=\left(A^* \right)^T$

Question

Nielsen＆Chuang（第10版）、69ページから：

仮定します $A$ ヒルベルト空間上の任意の線形演算子です。 $V$。一意の線形演算子が存在することがわかります$A^\dagger$ オン $V$ すべてのベクトルに対して $|v\rangle$、 $|w\rangle \in V$、

$$ (|v, A|w\rangle)=(A^\dagger|v\rangle, |w\rangle). \tag{2.32} $$

この線形演算子は、演算子の随伴またはエルミート共役として知られています$A$。定義からそれを見るのは簡単です$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$。慣例により、$|v\rangle$ はベクトルであり、次に定義します $|v\rangle^\dagger \equiv \langle v|$。この定義では、それを理解することは難しくありません$(A|v\rangle)^\dagger = \langle v|A^\dagger$。

まあ、私にはそれを見るのは難しいです $$ (A|v\rangle)^\dagger = \langle v|A^\dagger \tag1\label1 $$

少なくとも呼び出さずに $$ A^\dagger=\left(A^* \right)^T \tag2\label2 $$ この時点では本が\ eqref {2}を紹介していないので、これはやりたくないです。

私は定義を使用することによってそれを実現します $|v\rangle^\dagger \equiv \langle v|$ そしてそれを右に掛ける $A^\dagger$ 私は得る：

$$ |v\rangle^\dagger A^\dagger = \langle v| A^\dagger \tag3 $$

これは\ eqref {1}にかなり近いので、それを示すだけで済みます

$$ |v\rangle^\dagger A^\dagger = (A|v\rangle)^\dagger \tag4\label4 $$

私の最初の本能は使用することでした $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ここに。しかし、これは完全に正しく感じられません。$A$ そして $B$どちらも線形演算子ですが、\ eqref {4}では線形演算子とベクトルを扱っています。線形演算子の行列表現に行き、ベクトルを拡張することによってこれを回避しようとしました$|v \rangle$ 次のような行列に変換します。

$$ B = \begin{bmatrix} \vert & \vert & \dots & \vert \\ |v \rangle & 0 & \dots & 0 \\ \vert & \vert & \dots & \vert \\ \end{bmatrix} $$

その後、私は呼び出すことができます $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ しかし、本のこの時点ではそれがわからないので、これをどうすればよいかわかりません $B^\dagger = \left(B^* \right)^T$。したがって、の最初の行が$B^\dagger$ になります $\langle v|$。誰かが続行する方法を知っていますか？

Answer 1

のアプリケーション $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ 直接は確かに完全に正しくありません。

最初に注意してください $$ (A|v\rangle,|w\rangle) = (|w\rangle, A|v\rangle)^* = (A^\dagger|w\rangle, |v\rangle)^* = (|v\rangle , A^\dagger|w\rangle) $$ ところで、これからあなたはすぐに推測することができます $(A^\dagger)^\dagger = A$。

今すべてのために $|w\rangle$ 我々は持っています $$ (A|v\rangle)^\dagger |w\rangle = (A|v\rangle,|w\rangle) = (|v\rangle,A^\dagger|w\rangle) = $$ $$ = \langle v | \big(A^\dagger|w\rangle\big) = \langle v | A^\dagger|w\rangle = \big(\langle v | A^\dagger \big)|w\rangle $$ それはすべてに当てはまるので $|w\rangle$ 必要なものを推測できます $(A|v\rangle)^\dagger= \langle v | A^\dagger$。