平均の積
しましょう $(x_1,...,x_n)$ そして $(y_1,...,y_n)$ 次のような正の実数の2つの異なるタプルである $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$。それは本当ですか$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$
私はこれがおそらく関数に関する凹面の議論から続くべきだと思います $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$、しかし正確にはわかりません。
回答
算術平均と幾何平均の間の不等式は、$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ にとって $x, y \ge 0$、次の場合に限り、平等に $x=y$。
その結果 $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ 平等で $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$。
凹型の引数を使用する場合は、次のことを検討してください。 $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ 凹関数の合計として凹です。
ホルダー別 $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$