偏導関数の連鎖律に関する質問

Question

しましょう $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ 微分可能関数であり、関数を検討します $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$。計算$\frac{\partial F}{\partial x}$、 $\frac{\partial F}{\partial y}$ そして $\frac{\partial F}{\partial z}$ の面では $f$の1次偏導関数。
私はそれを認識することから始めました$F=f\circ g$、 どこ $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$。で示しましょう$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ そして $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$のコンポーネント。
連鎖律によって私はそれを知っています$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ 同じ関係が成り立つ $\partial y$ そして $\partial z$、しかし私はどのように/私がさらに単純化できるかどうかわかりません $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ そして $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$。私が理解している限り、これらはの部分導関数です$f$ 機能に関して $u$ そして $v$。これらを計算するにはどうすればよいですか？

Answer 1

物事を明確にするために、 $u$ そして $v$ の変数 $f$、 どこ $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$

連鎖律はそれを主張します \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} 他の偏導関数についても同様です。

Answer 2

の導関数に連鎖律を使用する場合 $multivariate$ 関数、あなたは読むことができます $partial$デリバティブ。より正確には、あなたのアイデアに従って、私たちは

$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$

マトリックス形式では、

$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$

次に、行列を乗算して導関数を読み取ります。