非三角関数の恒等式: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$。

Aug 18 2020

この質問はすでに以前に尋ねられましたが、答えは私が避けたかった三角法とスチュワートの定理を含む解決策を与えます。

三角形の中で $\triangle ABC$、点からの角度の二等分線 $A$ 交差する $\overline {BC}$ ポイントで $D$。証明:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$


私のアプローチ:

しましょう $c$ の外接円になる $\triangle ABC$ そしてしましょう $E$ 線の交点になります $AD$ とサークル $c$

以下を取得します。

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

一方:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

最終的に、

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

画像:


これが有効かどうか聞いてもいいですか?もしそうなら、私の証拠を改善するために私ができることはありますか?

前もって感謝します!

回答

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

2番目のステップに注意してください($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$はよく知られている定理(交弦定理)なので、自分で証明するのではなく、参照することもできます。それ以外は、この証明は完全に有効であり、非常に短いので、どのように改善できるかわかりません。