非負の独立確率変数の合計の確率不等式

Question

仮定します $X_i$、 $i \in \mathbb{N}$ 独立したバイナリ確率変数です $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ 定義します $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$。私はすべてのためにそれを証明したい$x > 0$、 我々は持っています $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$

私はこれを行うことができます $x \in (0,1]$ その機能に注意することによって $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ のために凹面です $x$ この範囲では、したがって、 $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$

ここで、イェンセンの不等式を適用して最後の不等式を取得します。私はこれを正しくしようとすることに迷っています$x > 1$。関数が原因でジェンセンを再度適用することはできません$f(y)$ に凸になりました $x \in (1, \infty)$したがって、まったく異なる戦略が必要です。これが正しい考えかどうかはわかりませんが、確率の式を正確に書き留めることができます。$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$しかし、これからは実りあるものは何も見えません。どんな助けでも大歓迎です！

Answer 1

仮定します $x > \mu$、 $x \le \mu$、次に右側がより大きい $1$。

私はバーンスタインの不等式の証明に従います： https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)

どんな場合でも $ \theta > 0$、 我々は持っています $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ 今 $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ そう $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ セットする $\theta = \log (x/\mu)$。