非線形方程式のシステムを解く：解の一意性または多様性を示す
このシステムを検討してください $12$ 方程式 $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ どこ
$\alpha \in \left[0,1\right]$
$p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$
$c_{i}, d_{i}, e_{i}$ 実数です $\forall i = 1, 2, 3, 4$。
この連立方程式には、に関する一意の解がある（またはない）ことを示したいと思います。 $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$。手伝ってくれる ？。
これは私が試したものであり、私が積み重ねられている場所です。しましょう $i = 1$。2番目の式から、次のようになります。 $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ これは $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ 最初の方程式から、 $p_{1}$。他の方程式から、私は1つが同様に得ることができると思います $p_{2}, p_{3}, p_{4}$。
これは、システムに独自のソリューションがないことを示すのに十分ですか？または、間に1つを除外する方法はありますか$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ？。
回答
お気づきのように、次の4つの方程式は次のようになります。 $\alpha-\alpha^2=d_i$。したがって、システムが解決策を持つための必要条件は次のとおりです。$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$。残りの方程式は$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ 続く $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$。これは、システムが解決策を持つためのもう1つの必要条件です。必然的に条件の両方のグループが成り立つと仮定します。現在、以下の場合が可能です。
1）） $d=\tfrac 14$。次に$\alpha=\tfrac 12$。次に$p_i$ システムによって決定されておらず、解決策があります（一意ではありません）。 $e_i=\alpha^2=\frac 14$ それぞれについて $i$
2）） $0\le d<\frac 14$。次に、2つの可能な選択肢があります$\alpha_1$ そして $\alpha_2$ にとって $\alpha$ そして
$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$
我々は持っています $p_i\in [0,1]$ iff $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ それぞれについて $i$。この状態が一部失敗した場合$i$、システムには解決策がありません。それ以外の場合は、それぞれに1つずつ、2つのソリューションがあります$\alpha_j$。