等長写像は局所的にリプシッツを埋め込んでいます

Question

「AnalysisonManifolds」というテキストのJamesMunkresは、次の定義を示しています。

定義

しましょう $h:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$。私たちはそれを言います$h$ は（ユークリッド）等長写像です $$ ||h(x)-h(y)||=||x-y|| $$ すべてのために $x,y\in\Bbb R^n$。したがって、等長写像はユークリッド距離を保持するマップです。

それで、上記の定義を一般的な距離空間に一般化して、ウィキペディアで見つけた次の定義を研究することが可能かどうかを私に尋ねます。

定義

場合 $(X,d_X)$ そして $(Y,d_Y)$ mtericスペースであり、関数 $f:X\rightarrow Y$ 等長写像と呼ばれる $$ d_Y\big(f(x),f(y)\big)=d_X\big(x,y\big) $$ のために $x,y\in X$。

それで、私は最後に次のステートメントが本当であるかどうか私に尋ねます。

ステートメント

しましょう $(X,d_X)$ そして $(Y,d_Y)$2つの距離空間。したがって、からの等長写像$X$ に $Y$ のリプシッツをローカルに埋め込んでいます $X$ に $Y$。

残念ながら、最後の声明を証明することができないので、私はそれをするように頼みます。誰かが私を助けてくれませんか？

Answer 1

補題

しましょう $(X,d_X)$ そして $(Y,d_Y)$2つの距離空間。したがって、からの等長写像$X$ に $Y$ のリプシッツをローカルに埋め込んでいます $X$ に $Y$。

証明。したがって、この定義では、明らかに等長写像は単射関数です。$x$ そして $y$ の2つの異なるポイントです $X$ 場合に限り $d_X(x,y)\neq 0$ だから、もしそうなら $d_Y\big(f(x),f(y)\big)\neq 0$ だから、もしそうなら $f(x)$ そして $f(y)$ の2つの異なるポイントです $Y$。だからもし$Z:=f[X]$ 次に、逆関数を定義できます $g:Z\rightarrow X$ 条件を通して $$ g(z):=f^{-1}(z) $$ のために $z\in Z$ そしてそうなら $x,y\in Z$ そのようなものです $g(x)=g(y)$ その後、単射によって $f$ それは $x=y$ そのため $g$ 単射もあります $(g\circ f)=\text{Id}$。さらに、アイソメタイアは連続した機能です。$d_X(x,y)<\epsilon$ その後明らかに $$ d_Y\big(f(x),f(y)\big)<\epsilon $$ 任意の $\epsilon>0$。最後に、等長写像の逆関数も等長写像です。確かに$$ d_Y(x,y)=d_Y\Big(f\big(f^{-1}(x)\big),f\big(f^{-1}(y)\big)\Big)=d_X\big(f^{-1}(x),f^{-1}(y)\big)=d_X\big(g(x),g(y)\big) $$ のために $x,y\in Z$ そのため $g$継続的でもあります。したがって、等長写像は埋め込みであると結論付けます。最後に、等長写像の定義による$$ \frac{d_Y\big(f(x),f(y)\big)}{d_X(x,y)}=1 $$ のために $x,y\in X$ そのため、等長写像はグローバルにリプシッツであり、ローカルでもリプシッツです。