ほぼ確実な収束とLacunaryシーケンス

Question

シーケンスの例はありますか $X_n$ すべてのlacunaryシーケンスのために確率変数の $n_k$ それはそれを保持します $X_{n_k}$ ほぼ確実に収束します $0$、 だが $X_n$ ほぼ確実に収束しない $0$？

シーケンス $n_k$ 存在する場合はlacunaryです $\lambda > 1$ そのため $n_{k+1} > \lambda n_k$ すべてのために $k$。

Answer 1

確率空間は $[0,1]$ルベーグ測度で。

しましょう $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ 明らかに $X_n$どこでも発散します。場合$n_k$ lacunaryである場合、固定数が存在します $M$ （に関連する $\log_2 \lambda$）せいぜい $M$ の $n_k$ いずれかにある $[2^n, 2^{n+1})$、およびこれらのそれぞれがゼロ以外であるセットは、最大でメジャーを持ちます $\frac 1{n^2}$。したがって、ボレル・カンテリ補題を使用すると、$X_{n_k} \to 0$ なので

あなたはまた作ることができます $X_n$独立していますが、分布は同じです。次に、それを示すことができます$X_n$ 2番目のボレルカンテリ補題を使用して発散します。

Answer 2

受け入れられた答えが明らかにするように、ボレル・カンテリの補題は、これをシーケンスを見つけるというはるかに簡単な質問と同等にします $p_k\ge 0$ これは合計できませんが、すべてのlacunaryサブシーケンスを合計できます。

たとえば、 $p_t$ 減少関数になる $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$、 お気に入り $p_t = 1/t$ にとって $t\in \mathbb{R}_{+}$。しましょう$X_n$ 独立したベルヌーイのシーケンスである $(p_n)$ランダム変数。次に$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$、ほぼ確実に、このシーケンスは $1$ 無限に頻繁に（同様に、それは $0$無限に頻繁に）。したがって、確率で$1$、収束しません。一方、任意のlacunaryシーケンスの場合$n_k$、いくつかあります $\lambda > 1$ そのため $n_k > \lambda^k n_1$。したがって、

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ そしてその確率 $X_{n_{k}} > 0$ 無限に頻繁に $0$ ボレルカンテリによって、そしてシーケンスはに収束します $0$ ほぼ確実に。