表示中 $g\in C^\infty$ それ $g^{(n)}(0)=0$ 消える特性を与えられた

Aug 23 2020

与えられた無限に微分可能な関数 $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ すべてのインデックスに対してそのプロパティを持つ $n$ 正の数があります $c_{n}$ そして $\delta_{n}$ そのような

$$|g(x)| \leq c_{n}|x|^{n} \quad \text{if} \quad |x|< \delta_{n}$$

自然数ごとにそれを示す $n,g^{(n)}(0)=0$

私の試み:

取ることによって $x=\frac{1}{k}$ それ自体、私たちは得る $$\left|\frac{g(\frac{1}{k})}{\frac{1}{k}}\right| \leq \frac{c_n}{k^{n-1}}$$ いつでも $1/k < \delta_n,~n \geq2$。さあ、$k \rightarrow \infty $ 取得するため $g'(0)=0$。しかし、の高階導関数はどうですか$g$$0$

回答

2 KaviRamaMurthy Aug 23 2020 at 12:53

ヒント: $g''(0)>0$ それから存在します $a, \delta >0$ そのような $g''(x)\geq a$ ために $0 < x <\delta$。MVTによってこれは$g'(x) \geq ax$ ために $0 < x <\delta$ そして $g(x) \geq ax^{2 }$ ために $0 < x <\delta$MVTの別のアプリケーションによって。しかし、これは仮説と矛盾します。$|g(x)| \leq c_3|x|^{3}$ ために $|x| <\delta_3$。同様に、$g''(0)<0$矛盾につながります。高階微分は、誘導を使用して同様に処理できます。

1 CalvinKhor Aug 23 2020 at 12:51

これは、テイラーの定理を使用した結果です。 $a\lesssim_n b$ もし $|a|\le C_n |b|$ 一定の定数 $C_n$ 応じて $n$。それぞれについて$n$、 なので $g\in C^{n+1}$、私たちは $|x|\lesssim_n 1$$$ \left |g(x) - \sum_{k=0}^n \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n \right| \lesssim_n |x|^{n+1}. \tag{Taylor}\label{*}$$ 結果はもちろん当てはまります $n=0$。ために$n=1$、\ eqref {*}は $$ |g(x) - g'(0)x| \lesssim |x|^2$$ 与えられた仮定は $$|x| \lesssim_k 1 \implies |g(x)|\lesssim_k |x|^k \tag{assumption}\label{**}$$ ために $k=2$、の地域で $x$ 両方の不平等が成り立つ場合、 $$ |g'(0)| |x| \le |g(x) - g'(0)x| + |g(x)| \lesssim |x|^2 $$ したがって、 $g'(0)=0$

一般的に:までのすべての導関数について保持された結果を想定します。 $(n-1)$1つ目。次に、\ eqref {*}は次のようになります$$ |g(x) - g^{(n)}(0)x^n/n!| \lesssim_n |x|^{n+1}$$ および\ eqref {**}と $k=n+1$ 与える $$ |g^{(n)}(0)| |x|^n/n! \le |g(x) - g^{(n)}(0)x/n!| + |g(x)| \lesssim_n |x|^{n+1} $$ したがって、 $g^{(n)}(0)=0$