表示する方法 $f^{-1}(0) \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ スムーズです
しましょう $f : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$滑らかな地図になります。セットの滑らかさが気になります$f^{-1}(0)$ 次の条件下で:
(1)すべての人のために $x \in \mathbb{R}^m$、 $f^{-1}(0) \cap (\{x\} \times \mathbb{R}^n)$ 寸法が滑らかです $r$(空でない場合)。寸法はすべて同じままです$x$。
(2)すべてのために $(x, y) \in f^{-1}(0)$ 投影の制限 $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ のカーネルに $df_{(x,y)}$全射です。言い換えれば、すべての人にとって$u \in \mathbb{R}^m$ が存在します $v \in \mathbb{R}^n$ そのような $df_{(x,y)}(u, v) = 0$。
なぜですか $f^{-1}(0)$ の滑らかな部分多様体 $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$?(そうではないかもしれませんが、どこかでその主張を見たことがあります。それが私が求めている理由です。)
私は横断性定理を適用しようとしていますが、それ以来どのようにかは明らかではありません $df_{(x,y)}$全射ではないかもしれません。直感的には、(1)により、滑らかさの欠如は横方向にのみ発生する可能性があります$\mathbb{R}^m \times \{y\}$ しかし理由は $\ker df_{(x,y)} \to \mathbb{R}^m$ 起こり得ない全射です。
回答
それは私には間違っているようです。見落としているかもしれませんので、よくご確認ください。
取る $m=n=1$ そして $r=0$。しましょう$f\colon\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ によって与えられる $$f(x,y)=x^2-y^2.$$ $f^{-1}(0)$ セットです $|y|=|x|$、およびに投影するときのファイバー $x$-軸は $0$-次元(原点以外で切断)。のカーネル$df_{(x,y)}$ 原点で次元をジャンプしますが、全射基準はさらに簡単に保持されます。