一意のトポロジを決定する基礎

Question

マンクレのトポロジーを読んでいると、根拠があれば$\mathscr{B}$ セットで $X$、次に、基底がトポロジを一意に決定します $X$; つまり、2つのトポロジがある場合$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ 同じ根拠で $\mathscr{B}$、その後 $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$。次のように定義でこれを見ることができないので、私が正しいかどうかはわかりません：

場合 $X$ が設定され、トポロジの基礎が $X$ コレクションです $\mathscr{B}$ のサブセットの $X$ （基本要素と呼ばれる）それぞれについて $x\in X$、少なくとも1つあります $B\in \mathscr{B}$ そのような $x\in B$ で、もし $x\in B_1\cap B_2$、 どこ $B_1, B_2\in \mathscr{B}$、そして存在する $B_3\in \mathscr{B}$ そのような $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$。

さらに、基礎 $\mathscr{B}$ トポロジーを生成します

$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ in U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ in B \ subset U$}\right\}$、

これは、を含む最小のトポロジです。 $\mathscr{B}$。したがって、ベースが$\mathscr{B}$ に等しい必要があります $\mathscr{T}_\mathscr{B}$。

ちなみに、私はトポロジと基礎の一意性の記事を参照しましたが、コメントの1つ（Hennoが残した）は私の予感を正当化するようで、オープンセットについて言及しました$O$ の要素の和集合です $\mathscr{B}$、 そう $O$ すでにトポロジにあります $\mathscr{T}_\mathscr{B}$、しかしどうやって彼らは知ることができたのか $O$基底の定義だけでこのように書くことができますか？つまり、マンクレスの本の中で、彼はlemme 13.1で、私の理解から、次のように述べています。$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$、基本的なトポロジに当てはまると言うのとは反対に $\mathscr{B}$。おそらく私はこの時点で誤解しています。

どんな助けでも本当にありがたいです！

Answer 1

私たちはそのトポロジーを言います $\mathcal T$ 根拠がある $\mathcal B$ もし $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$。
したがって、2つのトポロジの基礎が同じである場合、それらは一致します。

すべてのためにそれを言う $x\in U$ あります $B_x\in\mathcal B$ そのような $x\in B_x\subseteq U$ それを言うのと同じです $U$ の要素の結合です $\mathcal B$、具体的には $U=\bigcup_{x\in U}B_x$。

あなたが見逃しているかもしれないのはそれです

セット $\mathcal B$ のサブセットの $X$ トポロジの基礎です（つまり $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ トポロジです）指定された条件が成立する場合に限ります。 $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ そして $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$。

Answer 2

私は、すべてのオープンセットのコレクションとしてのトポロジーの定義から始めます。ここで、すべての開集合は、点を含むすべての基底要素の集合論的和集合として記述できることに注意してください。$x \in U$、 あれは、 $U = \bigcup_{x\in U} B_x $。ここで、トポロジーの基底の仮定により、常に2つの基底要素を取ることができることに注意してください。$B_1, B_2$ 空でない共通部分を使用して、それらの3番目の基本要素を見つけます（それを呼び出します $B_3$）。それにもかかわらず、トポロジは、コレクションによって生成することなく、 $B_3$そして1と $B_3$ はまったく同じであり、これは、集合を考慮してすでに考慮されている集合を追加しても、集合論的結合が変化しないという事実に由来します。 $B_1$ そして $ B_2$。これは、トポロジーの基底がベクトル空間の基底とは異なるとMunkresが書いたときの意味です。したがって、この観点から、すべての（固定された）開集合の集合論的和集合は一意のオブジェクトであるため、基底がトポロジーを決定するが、その逆は決定しないと言うことができます。