以下の最大の整数 $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
これはTIFR2020の博士号取得の質問です。質問には明確な回答が必要です。数論のアベルの公式を使用して部分和が評価されることは知っていますが、この形式の級数にはもっと良い方法があるかもしれないと思います。誰かが自分の考えを共有できますか？
回答
合計を適切な定積分と比較します。
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
また：
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
だから、合計は $1332$ そして $1333$ したがって、その不可欠な部分は $1332$。
ヒント：関数を検討してください$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ それを推定するために平均値の定理を使用します $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f（r + 1）-f（r）<\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ これで、ほとんどすべてが望遠鏡になるという事実を合計して使用できます。
悪臭を放つ司教たちの答えを検討する別の方法があります。これは派生的な答えであり、StinkingBishopのものとまったく同じです。目を細めて別の角度から見ているだけです。
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
今 $\int_a^b C dx = C[b-a]$ そう $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ そして $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ そう
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
述べたように $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
しかし、注意してください
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ 次のようにインデックスを再作成できます $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ これはに等しい $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$。
だから私たちは持っています
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
そしてそれは簡単に確認されます $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ その後 $M< n+1 \le M+1$ など $n\le M< n+1$ そう $\lfloor M\rfloor=n$。
そう $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$。