IMO1998-組み合わせ論

Question

私はこのIMO組み合わせ論の問題を試しています $1998$ このようになるP2：

競技会では、 $m$ 出場者と $n$ 裁判官、どこ $n \geq 3$奇数の整数です。各審査員は、各競技者を「合格」または「不合格」と評価します。仮定します$k$ は、任意の2人の審査員にとって、評価が最大で一致するような数値です。 $k$出場者。証明してください$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

始め方に戸惑いましたが、ヒントを教えていただけますか？

Answer 1

組み合わせの数を考慮してください $(\{j_1, j_2\},c)$、 どこ $\{j_1, j_2\}$ は別個の裁判官のペアであり、 $c$彼らが同意する競技者です。この数量には、次の2つの方法で到達できます。

1. 出場者、それらに同意する裁判官のペアの数を合計します。

2. 審査員のペア、彼らが同意する出場者の数を合計します。

次に、1で合計される量は、以下を含む式によって制限できます。 $n$ （覚えておいてください $n$ は奇数です）、2で合計される量は、上記で制限される場合があります。 $k$。組み合わせると、望ましい不等式が得られます。