インデックス定理のK理論の証明-いくつかの小さな混乱
私はへの一般的なアプローチを理解しようとしています $K$-これを使用した、アティヤ・シンガー指数定理の理論的証明 https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdf論文。29ページで混乱が発生しました。次のように記載されています。
「分析指標がトム同型写像と通勤していることを示すだけです。 $\phi:K(X)\to K(V)$ どこ $V$ 上の複素ベクトル束です $X$。[...]積として表現できる些細なバンドルを考えると、この問題はかなり単純化されます。$V = X \times\mathbb{R}^n$。」
同じページで、ベクトル束を検討します $Y$ これはいくつかのプリンシパルの関連バンドルのようです $G$-バンドルしますが、作者は再び検討します $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$、つまり、実際のベクトル束。複雑なベクトル束に対して何かを証明したいのであれば、これがどのように意味があるのかよくわかりません。複素構造を「忘れる」だけで、複素ベクトル束を実際のベクトル束と見なすことができますが、トム同型写像（少なくとも論文では）は複素ベクトル束に対してのみ定義されているため、欠落していると思いますもっと重要なこと。なかなか指が上がらないので、29ページの構造を誰かに説明してもらえれば幸いです。
回答
次の場合を思い出してください $X$ そして $Y$ コンパクトで滑らかな多様体であり、 $i\colon X\hookrightarrow Y$ スムーズな埋め込みであるため、「シュリークマップ」を定義します。
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ どこ $K_c$ です $K$-コンパクトなサポートを備えた理論。
最初のステップ（G.Landweberの記事のp。16または元のM.AtiyahとI.Singerの楕円型作用素のインデックスのpp。497-8を参照：I）は、管状近傍を取ることです。$N\subseteq Y$ の $X$。通常のバンドルで識別できます$N\to X$、これはもちろん実際のベクトル束です $X$。今それを観察します$Ti\colon TX\to TY$ 埋め込みであり、 $TN$ の管状近傍です $TX$。言い換えると：$TN\to TX$ は実際のベクトル束です。
しかし、私たちはさらに多くを言うことができます。結局のところ、$\pi\colon TX\to X$は投影であり、$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$。なので$N\oplus N\to X$複素ベクトル束として扱うことができます（つまり、$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$、私たちはそれを結論付けます $TN\to TX$複素ベクトル束としても扱うことができます。特にトムの準同型を考慮することは理にかなっています$K_c(TX)\to K_c(TN)$。
切除公理により、次の「分析指標」を定義できます。 $N$ 地図として $K_c(TN)\to \mathbb Z$。（この「分析インデックス」は、コンパクト多様体への埋め込みによって定義されるため、その意味はコンパクトの場合とは異なることに注意してください）。この分析指標が上で定義されたトム準同型と通勤することを示したいと思います。それを行うために、私たちはそれを観察します$N$、通常のバンドルとして $X$、と書くことができます $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$、 どこ $P$ プリンシパルです $O(n)$-バンドルと $X=P/O(n)$。次に、分析指標の乗法公理を使用します。（これは証明の最も進んだ部分であり、実際には同変写像の使用を動機付けます$K$-この場合の理論。ただし、$N$ ささいなバンドルです、 $O(n)$ 自明群に置き換えることができます $1$、および同変は必要ありません。同様に、向き付け可能$X$、グループを検討するだけで十分です $SO(n)$、証明をわずかに単純化するもの）。
複素構造を破棄する場合、すべての複素ベクトル束を実数ベクトル束と見なすことができるため、この構造は実数ベクトル束に対して作成されたようです。トム同型写像のために複素構造を再度追加する必要があるため、これを正当化するのに問題があります。なぜ使用しないのか聞きたいです。$U(n)$-代わりにベクトル束 $U(n)$コンパクトなリー群でもあります。ある主束の関連する束として実際のベクトル束を形成できるように、この方法で複素ベクトル束を形成することはできませんか？