$\int_{0}^{2\pi } \sin(\sin x+2016x)dx=?$ そして $\int_{\pi }^{3\pi } \frac{\sin^{2017}(1997x)\cos^{2018}(2000x)}{1+\cos^{70}(x)+2\sin^{4}(x)}dx=?$

Aug 25 2020

問題:

評価: $$\int_{0}^{2\pi }\displaystyle \sin(\sin x+2016x)\mathrm{d}x=?$$

$$\displaystyle \int_{\pi}^{3\pi} \frac{\sin^{2017}(1997x) \cos^{2018}(2000x)}{1+\cos^{70}(x)+2\sin^{4}(x)}\mathrm{d}x=?$$


最初の積分について、私はのパリティについて考えました $f(x)=\sin(\sin x+2016x)$ ただし、統合の制限は、使用するのに対称的ではありません。 $\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$

また、積分は多項式関数と三角関数のように見えるので、混乱します。

にとって $2\text{nd}$ 不可欠な、私は使用するつもりだった $\displaystyle \int_{a}^{a+P}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{P}f(x)\mathrm{d}x=\int_{\frac{-P}{2}}^{\frac{P}{2}}f(x)\mathrm{d}x$、しかし、私はの期間を見つけることができません $f(x)=\frac{\sin^{2017}(1997x)\cos^{2018}(2000x)}{1+\cos^{70}(x)+2\sin^{4}(x)}$


微積分IIに従って、これらの問題を解決するのを手伝ってください。ありがとうございました!

回答

1 CarlSchildkraut Aug 25 2020 at 08:12

あなたの主な困難は見つけることだとあなたは言いました $2\pi$期間として。これを行うために、各用語を個別に見ることができます。

最初に2番目の積分を見てみましょう。すべての用語は次のようになります$\sin(kx)$ または $\cos(kx)$、あなたが知っているかもしれない期間 $2\pi/k$。特に、$k$ は整数であり、これらはすべて周期的で周期的です $2\pi$ (たとえば、それは最小期間ではないかもしれません $\sin(1997x)$、しかしそれは確か期間です)。したがって、被積分関数は周期的に周期的です$2\pi$

最初の積分は、用語がすべて同じではないため、少し注意が必要です。 $\sin(kx)$。ただし、注意してください$\sin\sin x$ 周期的に周期的である必要があります $2\pi$(繰り返しますが、他の小さな期間があるかもしれませんし、そうでないかもしれません)。このことから、次のような機能があることを自分自身に納得させることができるはずです。$\sin(\sin x+2016x)$ 周期的に周期的である必要があります $2\pi$; プラグインするだけ$x+2\pi$ と簡素化します。

KaviRamaMurthy Aug 25 2020 at 07:57

どちらの場合も、被積分関数は $2\pi$期間として。これは、任意の長さの区間にわたる積分を意味します$2\pi$同じだ。したがって、$-\pi$$\pi$ そして、両方の積分が $0$

[ $f$ 継続的で期間があります $2\pi$。次に、の導関数$\int_a^{a+2\pi} f(x)dx$ に関して $a$ です $f(a+2\pi)-f(a)=0$。したがって、$\int_a^{a+2\pi} f(x)dx$ は独立しています $a$]。

jamesv Aug 25 2020 at 07:58

ヒント:代用 $u=x-{2\pi}$ パリティを検討します