入れ子になった側近のシーケンスはありますか $\{U_n\}$ と $\bigcap U_n=\Delta_X$、もし $X$ コンパクトなハウスドルフ均一空間です

Question

しましょう $(X, \mathcal{U})$コンパクトなハウスドルフ均一空間になります。と知られている$\bigcap \{U: U\in \mathcal{U}\}= \Delta_X$。

シーケンスはありますか $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ と $U_{n+1}\subseteq U_n$ そして $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n=\Delta_X$？

Answer 1

いいえ、これは次の場合にのみ発生します $X$距離化可能です。これは、対角線が閉じているため、この回答から得られます。$G_\delta$ 通常の空間で、したがってゼロセット。

したがって、測定不可能なコンパクトなハウスドルフを取ります $X$ 反例として、たとえばダブルアロー（ $X \times \{0,1\}$ 辞書式順序によって誘導される順序トポロジで）または $\omega_1+1$、または数え切れない離散空間のワンポイントコンパクト化など。