位相多様体について

Question

トポロジーの基本的な定理は、 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ そして $V \subset \mathbb{R}^{m}$ 同相であり、 $m=n$。

（i）-上記の形状については、よく知られている位相空間の観点から説明を書いてみてください。

（ii）-髪の毛のある球（形状の上）が位相多様体ではないことを証明します。

（ii）の場合：接続された多様体は固有の寸法を持っています $n$、およびのすべてのポイント $X$ 次に、開いた単位球に同相の開いた近傍があります $\mathbb D^n\subset \mathbb R^n$。

しかし写真では $X$ とは異なる点 $q$ 髪に開いた近隣の同相写像を持っている $\mathbb D^1$ 、一方、 $q$ 球上に開いた近傍同相写像があります $\mathbb D^2$。

以来 $X$ 接続されている場合、これは、一意の寸法を持つことができないため、多様体ではないことを証明します。したがって、上記の形状は位相多様体ではありません。

最初の質問にどのように答えることができますか？また、上記の形状は球に同相であり、球は位相多様体ですが、上記の形状は位相多様体ではないこともわかっています。したがって、一方が位相多様体ではなく、もう一方が位相多様体であるような2つの同相空間が見つかります。これは本当ですか ？

Answer 1

スペースを呼び出す $X$。あなたは球の接着としてスペースを書くことができます$\mathbb{S}^2$ と半分のオープン間隔

$$ X = \mathbb{S}^2 \coprod_{q = 0} [0,1)$$

言い換えると、 $X$ マップのプッシュアウトです $\{\ast\} \rightarrow \mathbb{S}^2$ によって与えられた $\ast \mapsto q$ そして $\{\ast\} \rightarrow [0,1)$ によって与えられた $\ast \mapsto 0$。