位相多様体の低次元交差を持つセットへの分解
しましょう $f:M\rightarrow N$ それぞれにモデル化された、接続された位相多様体間の連続関数である $\mathbb{R}^m$ そして $\mathbb{R}^n$; $n,m\in \mathbb{Z}^+$。いつもカバーを見つけられますか$\{C_i\}_{i \in I}$ の $N$ そのような：
- $I$ 有限です、
- ザ・ $C_i$ 通常の閉集合です。 $\overline{\text{int}(C_i)}=C_i$、
- $\text{int}(C_i)\cong \mathbb{R}^n$、
- $\text{dim}(C_i\cap C_j)<n$？そして$C_i\cap C_j$ ボレル集合ですか？
いつ $N$ コンパクトで、カバーするだけなので、これは明らかです $N$局所的なユークリッド近傍で、それらのクロージャを取り、コンパクト性を使用して有限集合に縮小します。しかし、一般的にはどうですか？
回答
無視します $M$ そして $f$彼らは質問に何の役割も果たさないからです。コンパクトケースについて私が知っていることは次のとおりです。
場合 $N$ 三角形分割、またはより一般的にはハンドル分解を許可し、次にサブセットの有限コレクションを許可します $C_i$ ある。
次元のすべての位相多様体 $\le 3$ 三角測量を認めます。
次元のすべての位相多様体 $> 4$ ハンドル分解を認めます。
コンパクトなトポロジー4次元多様体がCW複体の構造を認めるかどうかは不明です。
編集します。あなたの質問に対する答えは、接続されているすべてのマニホールドに対して肯定的であることに気づきました。2つのサブセットでも$C_1, C_2$十分であろう。これはBerlanga-Brownの定理の応用であり、接続されたすべてのトポロジカルn多様体には、開いたnボールに同相の開いた密なサブセットが含まれていると述べています。
詳細は次のとおりです。
ベルランガ
R.Berlanga「トポロジカルシグマコンパクト多様体のマッピング定理」、Compositio Math、1987年、vol。63、209-216。
モートンブラウンの初期の研究を一般化すると（コンパクト多様体の場合）、すべての接続が $n$-次元位相多様体 $N$ オープンで密なサブセットが含まれています $U$ 同相写像 $R^n$。ケースを検討します$n\ge 2$ との状況以来 $n=1$ 明らかです。
しましょう $A:= N - U$。シーケンスを選択してください$x_i\in U$ その蓄積は $N$ 等しい $C$。以来$U$ 同相である $R^n$、超曲面が存在します $H\subset U$ 同相写像 $R^{n-1}$、シーケンスを含む $(x_i)$ と分離 $U$ 2つの開いたサブセットで $V_1, V_2$ それぞれの同相写像 $R^n$。その後、閉鎖$C_i$ の $V_i$ に $N$ 定期的になり（下記参照）、交差点 $B=C_1\cap C_2$ に空のインテリアがあります $N$。したがって、$\dim(B)=n-1$。（一般に、内部が空の各閉サブセット$n$-次元多様体は被覆次元を持っています $\le n-1$、これはメンガー-ウリゾーンの定理です。しかし、私たちの場合$B$ 含まれています $H$、 そう $\dim(B)=n-1$。）
の規則性を見るために $C_i, i=1, 2$ の境界に注意してください $C_i$ 等しい $A\cup H$ そして、構造によって、の各ポイント $A\cup H$ 両方の境界点です $V_1$ そして $V_2$。したがって、$int C_i= V_i$、ながら $C_i=cl(V_i)$、 $i=1, 2$。