いつ何をするように頼まれますか $\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$?
私は関数Fを持っています$$F=F(t,x,y,z)=e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{4t}}$$
これで、関数Gを次のように定義します。 $$G=G(t)=\displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty }\displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty }F(t,x,y,z) dxdydz$$
また、関数Hは $$H=H(t,x,y,z)=\frac{\Delta F(t,x,y,z)}{G(t)}$$どこ $$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$
評価する必要があります $$\displaystyle \int_{1}^{ \infty } H(t,1,2,3) dt$$
でも私はオペレーターに詳しくないので何がわからない $\Delta$ と私に言う $F$。
誰か助けてもらえますか?
私が見つけたもの
$$G(t)=8\pi t \sqrt{\pi t}$$
回答
$$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} $$ 次のような式を定義する簡単な方法です $\Delta F(t,x,y,z)$。したがって、特に、偏導関数を使用して何かを行うように指示します。$$ \Delta F(t,x,y,z) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}F(t,x,y,z)+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}F(t,x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}F(t,x,y,z) . $$ だから、もしどうしますか $F$ によって与えられます $$ F(t,x,y,z) = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)} $$ ステップバイステップで続行します $$ \frac{\partial}{\partial x} F = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\;\cdot\frac{-x}{2t} $$ (連鎖律)、そして $$ \frac{\partial^2}{\partial x^2} F = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\;\cdot\left(\frac{x}{2t}\right)^2 + e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\cdot\frac{-1}{2t} = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\;\cdot\frac{x^2-2t}{4t^2} $$ (積の法則)。
いくつか残しておきます。次は$\frac{\partial^2}{\partial y^2} F$ そして $\frac{\partial^2}{\partial z^2} F$。次に、3つを足し合わせます。