磁場中の循環電流ループのトルクの積分[クローズ]

Question

磁場内の循環電流ループのトルクの式を導き出そうとしています。私は式が次のとおりであることを知っています：

$\tau = IAB\sin{\theta}$

ここで、Iは電流、Bは磁場、Aは面積です。

これまでの私の試み：

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

ここで、トルクの式が次の場合： $\tau=bF\sin{\theta}$、および $b = r\sin{\alpha}$、その後

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

最終的に、この最後の方程式の積分を取ると、積分方法を正確に理解できません。 $\sin{\alpha}^2\,ds$。

私の根底にある誤解はここにあると思います：私は $d\vec{s}\times \vec{B}$私は円の直径を知っているので、そうなるでしょう。しかし、表現する方法はないと思います$\sin{\alpha}$ に関して $ds$。

私はこれを間違えていますか？ありがとうございました

Answer 1

ベクトル表記を使用しなかったので、かなりひどいようです。また、あなたは使用しました$M$ トルク用（ $\tau$）磁気モーメント（一般的に受け入れられている記号）ではなく。

証明：

円形のループがあります $x-y$ raduisの飛行機 $r$ 原点を中心 $O$。反時計回りに定電流を流しています。均一な磁場があります$\vec B$ ポジティブに沿って向けられた $x$-軸。

要素を検討する $d\vec s$ ある角度でリングに $\theta$ なす角 $d\theta$原点で。この要素のトルクは次の式で与えられます。

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

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注：計算部分はスキップしました。また、あなたも取ることができます$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$、私は取っただけです $x$-簡単にするためのコンポーネント。結果は同じになります。導体の形状と同じで、正方形でも円形でも構いません。

Answer 2

私はdsが実際にあることを理解することによってこれを解決しました $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ 長さの弦の式によって。

要するに、実際に書くことによって $d\vec{s}\times \vec{B}$ の面では $\alpha$。