自己同形離散スペクトルの特性評価
私は最近、MoeglinとWaldspurgerの著書「スペクトル分解とアイゼンスタインシリーズ」から自己同形スペクトル分解について学びました。（MWと呼ぼう）
離散スペクトルの特性評価について質問があります。
MWのように基本的な表記法を説明しましょう。
しましょう $G$ 代数体上の接続された簡約群である $k$ そして $\xi$ の単一のキャラクターである $Z_G(A)$。
しましょう $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ あります $L^2$-で機能します $G(k)\setminus G(A)$ 中心人物と $\xi$。
次に、 $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ アイゼンシュタイン級数とその補集合の反復残基によって生成された空間に分解されます。これは、アイゼンシュタイン級数の直積分によって記述されます。（MW、IV 2.1）
最初のスペースと呼ぼう $L^2_d$。
（私はそれを思う $L^2_d$ のスパンの閉鎖です $L^2$ の保型形式 $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$。）
半単純加群、すなわち、のトポロジー的に既約の部分表現のヒルベルト直和と呼びましょう。 $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$、名前で $L^2_{ss}$。
離散スペクトルと連続および基本特性の定義
上記の記事では、離散スペクトルと呼ばれています。
私の質問は
- あります $L^2_d$ そして $L^2_{ss}$ 同じ？
- もしそうなら、それを証明する方法は？ゲルファント・グラエフ・パテツキー・シャピロの定理の証明のように、つまり尖点表現の場合のように、基本的な機能分析（たとえば、ウォルター・ルーディンの「機能分析」という本の知識）によってそれを証明できますか？
それは明らかだと思います $L^2_d$ 含まれています $L^2_{ss}$、しかし、その逆は本当かどうか疑問に思います。この質問を解決するための手がかりをいただければ幸いです。ありがとう！
編集：私はもう1つの質問と定義を追加しました $L^2_{ss}$コメントに沿って。コメントありがとうございます！
回答
それはの許容性によって真実です $L^2_{d}$。
請求項1。 $L^2_{d}$ 許容されます。
証明のスケッチ
Kタイプが固定されている場合、Kタイプとの保型形式の微小文字の有限の可能性があります。$L^2_{d}$、アイゼンシュタイン級数の尖点表現と残差の構築のためのハリシュチャンドラ許容性定理による。（MW V3.3、V3.13、コーバリス4.3を参照）
したがって、再びハリシュチャンドラ許容性定理による、空間$L^2_{d}$ 許容されます。
請求項2G（の許容可能なユニタリ表現$\mathbb{A}$）は半単純です。
証明のスケッチ
それは、すべての非ゼロ許容ユニタリrepresentionsが既約subrepresentationを持っていることを示せばよい。（それはツォルンの補題により、以下。）
してみましょう$\pi$ゼロ以外の許容可能な単一表現であること。次に、K型の有限集合があります$\mathcal{F}$ そのような $\mathcal{F}$-の典型的な部分 $\pi$、 いう $\pi_\mathcal{F}$ゼロ以外です。
しましょう$e_\mathcal{F}$ Gのヘッケ代数の対応するべき等であり、 $\mathcal{H}(G)$、そして $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ あります $e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$（Corvallis p183、Flathの記事、およびKnapp-Voganの第1章を参照してください。）
次に$\pi_\mathcal{F}$ 既約の部分表現があり、 $\rho_\mathcal{F}$ の $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ そしてそれはG（を生成します$\mathbb{A}$）-部分空間 $\rho$。
私たちはそれを主張します$\rho$既約です。
さもないと、$\rho$ 2つの適切な閉じた部分空間の直和を分解します $\rho_{1}$ そして $\rho_{2}$。
に投影$\rho_\mathcal{F}$、 のどちらか $(\rho_i) _\mathcal{F}$ゼロ以外です。の還元不可能性によって$\rho_\mathcal{F}$、 のどちらか $(\rho_i)$ 等しい $\rho$と矛盾。（この証明を完了するには、いくつかの関数解析を使用する必要があります。たとえば、Wallachの実際の簡約群の1.6.6を参照してください。）