「辞書式順序」を維持しながら、実数座標空間を超実数にマッピングする
機能を考え出す $f:X^n \rightarrow \mathbb{R}$ どこ $X$ 辞書式順序が保持されるような整数の有限集合は簡単です。
$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i (\max(X))^{n-i}}$$
同様の機能を考え出すことは可能ですが、「辞書式順序」を維持しながら実数空間を超実数にマッピングする機能です（$g:\mathbb{R}^n \rightarrow {}^*\mathbb{R}$）？実数の場合は不可能なので、超実数について質問します（Debreu、G。（1954）。数値関数による優先順位の表現。決定プロセス、3、159-165。）また、「レキシコグラフィック順序（私の理解に基づく）は技術的には有限セットの要素のシーケンスの順序であるため、引用符付きのレキシコグラフィック順序」ですが、無限セットの要素のシーケンスを含むように概念を拡張することは不合理ではないようです。$$(x_1, x_2, \dots ,x_{n-1}, x_n) \leq(y_1, y_2, \ldots ,y_{n-1}, y_n) \iff (x_1<y_1) \lor ((x_1=y_1) \land ((x_2<y_2) \lor \ldots ))$$
次のようなものは動作しますか？
$$g(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i \omega^{n-i}}$$
回答
あなたの理解は正しいです。任意の2つの半順序集合が与えられた$(A, <_A)$ そして $(B, <_B)$ デカルト積の辞書式順序はいつでも定義できます $A \times B$ 沿って $$(a_1, b_1) \leq_{\text{lex}} (a_2, b_2) \iff a_1 <_A a_2 \text{ or } (a_1 = a_2 \text{ and } b_1 <_B b_2);$$ これは、半順序集合の有限および無限の積に自然に拡張されますが、無限の積の場合は $\leq_{\text{lex}}$ 動作が少し異なります（つまり、秩序が整っていません）。
関数 $g: \mathbb R^n \to {}^*\mathbb R$あなたが定義することは確かに仕事をします。詳細はこちらです。
しましょう $\mathcal U$ 非主要な限外フィルターである $\mathbb N$、 そのため ${}^* \mathbb R = \mathbb R^{\mathbb N} / \mathcal U$; 以来、$\mathcal U$は非主要であり、フレシェフィルターが含まれているため、$\mathbb N$ にあります $\mathcal U$。全体を通して、$(a_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$ その同値類をで表す ${}^* \mathbb R$ 沿って $[(a_n)]$。さらに、標準番号を思い出してください$r$ に ${}^*\mathbb R$ 定数シーケンスの同値類によって与えられます $(r, r, r, \dots)$、そしてその場合 $[(a_n)], [(b_n)] \in {}^*\mathbb R$、その後 $$[(a_n)] < [(b_n)] \iff \{n \in \mathbb N: a_n < b_n \} \in \mathcal U. \tag {$\短剣$}$$
私たちは今、すべての人のためにそれを証明します $n \in \mathbb N$ もし $(x_1,x_2, \dots, x_n) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_n)$ に $\mathbb R^n$、その後 $g(x_1, x_2, \dots, x_n) \leq g(y_1, y_2, \dots, y_n)$ に ${}^*\mathbb R$。私たちはこれを強い帰納法で行います$n$; ケース$n=1$ 些細なことなので、あると仮定します $ k \in \mathbb N^{>1}$ 結果がすべてに当てはまるように $n \leq k$ そしてそれを仮定します $(x_1, x_2 \dots, x_{k}, x_{k+1}) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_k, y_{k+1})$。主なケースは2つあります。
- $\underline{x_1 < y_1}$。すべての人にそれを示します$x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$、私たちはそれを持っています $$x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}. \tag{$\星$}$$ 矛盾しないと仮定して、存在するように $x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$ そのような $$y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} < x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ast$}$$ 以来 $\omega = [(1,2,3, \dots)] = [(n)]$、 沿って $(\dagger)$ 私たちはそれを持っています $(\ast)$ セットがそのステートメントと同等です \begin{align} S &= \Bigg\{ n \in \mathbb N : y_1n^k + y_2n^{k-1} + \dots + y_{k+1}n^0 < x_1n^k + x_2n^{k-1} + \dots + x_{k+1}n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1-x_1)n^k < (x_2-y_2)n^{k-1} + \dots + (x_{k+1} -y_{k+1} )n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1 -x_1)n^k < \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}\Bigg\}\end{align} 私たちの限外フィルターにあります $\mathcal U$。一方、$x_1 < y_1$、私たちはそれを持っています $0 < (y_1 -x_1) n^k$ すべてのために $n \in \mathbb N$、 そのため $(y_1 -x_1)n^k$ で厳密に増加する関数で $n$。特に、$N \in \mathbb N$ すべての人のために $n \geq N$ 我々は持っています $(y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}$; したがって、セット$$S' = \Bigg\{n\in \mathbb N : (y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=1}^{k+1}(x_i-y_1)n^{k+1-i}\Bigg\} $$ 補有限なので $S' \in \mathcal U$。ただし、注意してください$S' = S \backslash \mathbb N$、だから私たちはそれを持っています $S \in \mathcal U$ そして $S \backslash \mathbb N \in \mathcal U$、という事実と矛盾する $\mathcal U$限外フィルターです。したがって、私たちの仮定は誤りであり、$(\star)$ 必要に応じて、次のようになります。
- $\underline{x_1 = y_1 \text{ and } x_2 < y_2}$。以来$x_1 = y_1$、それを示す $$x_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} $$ それを示すために単純化します $$\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ddagger$}$$ 今すぐ定義 $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) = (x_2, x_3, \dots, x_{k+1})$ そして $(y'_1, y'_2, \dots, y'_{k}) = (y_2, y_3, \dots, y_{k+1})$。以来$x_2 < y_2$、私たちはそれを持っています $x'_1 <y'_1$、 そう $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) \leq_{\text{lex}} (y'_1, y'_2, \dots, y'_{k})$ の定義による $\leq_{\text{lex}}$、 そして更に $(\ddagger)$ になります $$\sum_{i=1}^{k}x'_i\omega^{k-i} \leq \sum_{i=1}^{k}y'_i\omega^{k-i};\tag{$\ star \ star$}$$ 私たちの帰納的仮説によって、 $(\star\star)$ 保持するので、そうします $(\ddagger)$ これで完了です。
その他の場合（ $x_1 = y_1$、 $x_2= y_2$ そして $x_3 < y_3$）強い帰納法の仮定を使用して、上記のポイントと同じ議論に従います。