次数25の2つの有限体間の同型を構築します。
問題のフィールドは、\ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] /(x ^ 2 + x + 1)、\ \ mathbb {F} _5(\ sqrt {2})です。\ end {equation *}上記のフィールドは同じ次数の有限体であるため、これらのフィールド間に同型があることを私は知っています。私のアイデアは、各フィールドのユニットのグループのジェネレーターを見つけ、一方のジェネレーターをもう一方のジェネレーターにマッピングすることによって同型を構築することでした。
見つけた $x+2$ 生成します $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ そして $1+\sqrt{2}$ 生成します $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ 次に、地図を呼び出す $\varphi$、 私は送る $x+2$ に $1+\sqrt{2}$ これは、再配置した後、 $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ ここで、同型写像はベースフィールドを修正することも使用しました $\mathbb{F}_5$。問題は、地図が\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} 満たさない $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ すべてのために $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ これは、一般的なアプローチが正しくないためですか?
回答
私たちはそれに気づきます $\omega$、1の原始的な第3根は、最小多項式として $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$。なので$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ これにより、次の同型が得られます $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} しかしながら、 $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ そして $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$したがって、\ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] /(x ^ 2 + x + 1)\ cong \ mathbb {F} _5(\ frac {-1 + \ sqrt {-3}} {2 })= \ mathbb {F} _5(\ sqrt {2})。\ end {equation *}