実直交行列の列和の構造

Question

正方形の実直交行列があるとします。 $A \in O(D)$。の列の合計のセットにどのような構造が存在するかを理解したい$A$。

例えば、 $O(2)$単一のスカラーでパラメーター化できます。理由を確認するには、$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$。最初の列には単位ノルムが必要なので、$c = \sqrt{1 - a^2}$。2番目の列は最初の列に直交している必要があり、単位ノルムも必要であるため、$b = -c$ そして $d = a$。その結果、$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ 列の合計は $a + \sqrt{1 - a^2}$ そして $a - \sqrt{1 - a^2}$。列の合計をの関数としてプロットすると$a$、私はこれらの素晴らしい曲線を観察します：

私の質問は、この構造がどのように一般化されるかです。 $O(D)$？一部の量は保存されていますか？列の合計を降順で並べると、それらの間には何らかの関係がありますか？

たぶん私が欲しいのは、「前の列の合計が $A, B, C,...$ 次の列の合計は次のようになります $Z$ /境界 $[-X, Y]$「」

Answer 1

考えられるすべての列和ベクトルのセットが球体であることを知っていると、基本的に、そのようなベクトルについて尋ねることができるすべての考えられる質問に答えます。具体的には、次のとおりです。

しましょう $S(n)$ の直交行列の列和ベクトルのセットである $O(n)$。次に$S(n)$ 半径の球に等しい $\sqrt n$ 原点を中心に。

コメントから：

それ以上のことは言えますか？ベクトルは正規直交であるため、1つ（または複数）を固定すると、球上の残りの点を選択できることが大幅に制限されることを示しています。

ベクトルが正規直交であるという仮説を持ち込むと、すべての列和ベクトルのセットが球であるという定理にその仮説が埋め込まれているため、より強力な結果が得られない可能性があります。そうです、1つまたは複数の座標を固定すると、他の座標が制限されますが、結果の点が球上にくるように選択する必要があるという点で、それらだけが正確に制限されます。結果として、それ以上の制限を取得しようとしても意味がありません。$S(n)$は球に等しい-球のサブセットでもスーパーセットでもないが、等しい。したがって、制限は厳しくなります。

例えば：

1. パラメータ化できます $S(n)$、球の標準パラメータ化を使用します。

2. はい、最初に修正すれば $k$座標。ベクトル全体が球上に配置される必要があるため、これにより残りの座標が制限されます。具体的には、残りの座標$a_{k+1}, ..., a_n$ 次のように選択する必要があります $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ 言い換えれば、 $r^2=a_1^2+...+a_k^2$、残りの座標は半径の球から選択する必要があります $\sqrt{n-r^2}$ に $(n-k)$-次元空間。